Capítulos 5 e 6 : Números complexos 

O matemático Adrien Douady explica os números complexos. A raiz quadrada dos números negativos explicada de forma simples. Transformar o plano, deformar imagens, criar imagens fractais.

1. O apresentador

Os números complexos constituem um dos capítulos mais bonitos da matemática e se tornaram essenciais na ciência. O caminho da sua descoberta não foi fácil e a terminologia empregada testemunha esta dificuldade; falou-se de números impossíveis, imaginários, e a palavra "complexo" deixa entender que não é fácil compreendê-los. Felizmente, hoje, não é mais o caso: podemos agora apresentá-los de maneira relativamente elementar.

Adrien Douady é o apresentador destes capítulos. Matemático excepcional, as suas contribuições são muito variadas, e gostava de dizer que todas as pesquisas giravam em redor dos números complexos. Ele é, em particular, um dos que fizeram reviver a teoria dos sistemas dinâmicos complexos da qual diremos, mais tarde, algumas palavras. 

Uma das características desta teoria é que gera conjuntos fractais muito bonitos que, hoje, podem ser representados graças aos computadores. Adrien Douady faz parte dos que incentivaram firmemente a produção deste tipo de imagem, para ao mesmo tempo ajudar o matemático no seu trabalho de investigação e popularizar a matemática na sociedade.

Deve–se a ele, igualmente, um filme de animação matemática  intitulado A dinâmica do coelho: gostava de batizar os objetos matemáticos com nomes surpreendentes: coelho, avião, shadok (personagem de história de quadrinhos, muito conhecida na França e que Douady gostava de citar.) etc. O  seu desaparecimento recente entristeceu profundamente a comunidade dos matemáticos. Para algumas indicações sobre a sua personalidade, ver este sítio ou este.

É claro que mesmo Adrien Douady não pode explicar toda a teoria dos números complexos em dois capítulos de 13 minutos... Estes capítulos não podem substituir um professor, um livro, ou uma exposição detalhada (ver por exemplo este sítio ou neste, em francês). É necessário considerar estes capítulos como complementos ou ilustrações que incentivam a  saber mais ou como recordações para os que teriam esquecido remotas lições passadas. Certamente, o filme procura, sobretudo, destacar o lado geométrico destes números complexos.

2. Números e transformações

Vimos que a reta é de dimensão 1 dado que se pode localizar um ponto sobre uma reta com um número, positivo à direita da origem e negativo à esquerda. Os pontos são seres geométricos e os números são seres algébricos. A idéia de pensar em números como pontos ou pontos como números, ou seja, de misturar a álgebra e a geometria, é uma das idéias mais férteis da matemática. Como sempre, não é fácil atribuir a um só homem  mas é, em geral, a Descartes que se atribui este método potente de estudo da geometria pela álgebra: é o nascimento da geometria algébrica. Se os pontos de uma reta são números, deve-se poder compreender geometricamente o significado das operações elementares entre números: a adição e a multiplicação. A chave desta compreensão está na idéia de transformação.

Por exemplo, subtrair 1 de um número x, ou seja a transformação x-1, é visto geometricamente como uma translação: todos os pontos  são transladados de 1 para a esquerda. Da mesma maneira, a multiplicação por 2 é pensada como uma dilatação. 

A multiplicação por -1 que envia cada ponto x sobre - x é pensada como uma simetria: cada ponto é transformado em seu simétrico em relação à origem. A multiplicação por -2 é, por sua vez, composição das duas operações precedentes. Multiplicar dois números significa compôr as transformações que lhes são associadas. Por exemplo, a transformação associada à multiplicação por -1 é uma simetria e quando se efetua esta operação duas vezes, em sequência, retorna-se ao ponto de partida, de modo que o produto de -1 por ele mesmo é + 1. O quadrado de -1 é + 1. 

O quadrado de -2 é + 4 pela mesma razão. Resulta disso tudo que o quadrado de qualquer número continua positivo. Não há número cujo quadrado seja igual à -1.

Em outros termos, -1 não tem raiz quadrada.

3. A raiz quadrada de -1

Por muito tempo, a impossibilidade de encontrar uma raiz quadrada para -1 era um dogma o qual não se podia discutir. Mas na época da Renascença, certos espíritos inventivos ousaram quebrar o tabu! Se se ousa escrever Ö-1, então se pode também escrever números como por exemplo 2 +.3Ö-1 e pode-se igualmente brincar com estes números de maneira formal, sem estar demasiadamente tentando compreender os seus significados. Estes pioneiros então constataram de certa maneira, experimental, que calcular com estes números impossíveis não parecia levar a contradições, de modo que estes novos números gradualmente foram aceitos pelos matemáticos, sem verdadeiras justificativas.

A história destes novos números é bem longa e não é nossa intenção descrever as etapas que conduziram a bases sólidas. Poderá ser consultada por exemplo esta página para um pouco de história. Será suficiente dizer, para simplificar ao extremo, que por volta do décimo nono século, alguns matemáticos, incluindo Gauss, Wessel e Argand, tomaram consciência do carácter geométrico destes números imaginários. O filme mostra uma apresentação simplificada de uma ideia muito simples de Argand.

(Cliquem na imagem à direita para ver o artigo original de Argand.)

O número -1 é associado à simetria em relação à origem sobre a reta, ou seja, a uma rotação de meia volta. Procurar uma raiz quadrada para -1 é procurar uma transformação que, efetuada duas vezes em sequencia, daria uma rotação de meia volta. Argand declara então que a raiz quadrada de -1 deve ser associada à rotação de um quarto de volta, simplesmente. Fazer duas rotações de um quarto de volta, é fazer uma rotação de meia volta, ou seja, multiplicar por -1.

Se se parte desta ideia, tem-se vontade de dizer que a raiz quadrada de -1 é obtida a partir de 1 girando de um quarto de volta. Certamente, a imagem de 1 por uma rotação de um quarto de volta não está sobre a reta e acabamos de decidir que a raiz quadrada de -1 é um ponto que não está sobre a reta mas no plano!

A idéia é simples e bonita: Considere os pontos do plano como números. Então, certamente, estes não são mais os mesmos números com os quais estamos habituados. Por esta razão, se diz que os números “tradicionais” são números reais e que os números os quais estamos prestes a definir, associados aos pontos do plano, são números complexos.

Se localizamos um ponto do plano pelas suas duas coordenadas (x, y), que são números reais, a reta da qual partirmos é a reta de equação  y = 0, e o ponto que é a imagem de (1,0) pela rotação de um quarto de volta é (0,1). É então este ponto que Argand considera como a raiz quadrada de -1. Os matemáticos, sempre surpreendidos por este "truque", chamam este ponto  i, como "imaginário". Dado que queremos números que se podem adicionar entre si, pode-se considerar o número x + iy  :  ele corresponde ao ponto do plano de coordenadas (x, y).

Em resumo, Argand nos incita a considerar os pontos (x, y) do plano não como dois números (reais) mas antes como um só número (complexo). Isto pode parecer muito surpreendente e talvez artificial, mas veremos que esta idéia é muito poderosa.

4. Aritmética complexa

A sequência não é difícil. Após todas as especulações, define-se um número complexo z como sendo dar dois números reais (x, y), ou seja, um ponto do plano e se escreve z = x + i y. Trata-se, em seguida, de mostrar que se podem adicionar estes números complexos, multiplicá-los, e também que todas as propriedades do cálculo às quais estamos habituados são ainda válidas. Por exemplo, é preciso se assegurar que a soma de números complexos é a mesma qualquer que seja a ordem em que se apresentem. Tudo isto pode ser feito rigorosamente, mas este não é o objetivo do filme. Veja uma apresentação da teoria dos números complexos.

Para a adição é fácil: tem-se a fórmula  (x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y') de tal modo que adicionar números complexos é o mesmo que adicionar vetores.

Para a multiplicação, é um pouco mais difícil

(x+i y).(x'+i y') = xx' + i xy' + i yx' + i² yy' = (xx'-yy') + i (xy'+x'y)

mas  aqui, com um milagrezinho, esta fórmula será satisfeita. Por exemplo, não é de forma alguma evidente, com esta fórmula, que se podem multiplicar três números complexos em qualquer ordem para encontrar o mesmo resultado, ou ainda que se pode sempre dividir por um número não nulo. Este pequeno milagre não é explicado neste filme... isto nos tomaria muito tempo

Duas noções serão úteis para a sequência: 

O módulo de um número complexo z = x + i y  é simplesmente a distância do ponto correspondente (x, y) à origem. Escreve-se |z| e é igual, de acordo com teorema de Pitágoras, a √ (x²+y² ).  Por exemplo, o módulo de i é igual a 1 e o de 1+i,  a √2. 

O argumento indica a direção de z. Escreve-se como  Arg(z) e não é nada mais que o ângulo entre o eixo das abcissas e a reta ligada à origem a partir de  (x, y). Este argumento é definido apenas se z não for nulo. Por exemplo, o argumento de i é de 90 graus, o de 1 é nulo; o de -1 , de 180 graus; e o de 1 + i, de 45 graus.
Os matemáticos por muito tempo têm tentado fazer a mesma coisa no espaço de dimensão 3: como multiplicar pontos no espaço? Tiveram que esperar muito tempo antes de compreender que não era possível. No espaço de dimensão 4, descobriram que era parcialmente possível, sob a  condição de abandonar a idéia que a multiplicação verifica ab = ba! e terminaram por descobrir por que na dimensão 8, é ainda possível, sob a condição de abandonar a idéia que (ab)c = a(bc), antes de compreender, no meio do século vinte que nas outras dimensões diferentes de 1,2,4 e 8, não há realmente nenhum meio para multiplicar os pontos! Para compreender algo das frases misteriosas que precedem, pode-se ler aqui, aqui ou acolá.

Em resumo, os pontos do plano são definidos por só um número... complexo. O plano que dissemos ser de dimensão 2 é agora de dimensão 1! Não há certamente contradição: o plano é de dimensão 2 real mas é uma reta de dimensão 1 complexa. Plano real, reta complexa... Dimensão 2 real, dimensão 1 complexa. Jogo de palavras?

5. ... ainda a projeção estereográfica !

Lembrem-se da projeção estereográfica; ela transforma a esfera de dimensão 2, sem o pólo   norte, no plano tangente ao pólo sul. Se um ponto se aproxima do pólo norte, sua projeção se afasta no plano de modo que se diz que ela tende ao infinito. Diz-se de resto, às vezes, que o pólo norte é o ponto no infinito.

Agora, se se pensa no plano tangente ao pólo sul como uma reta complexa, compreende-se porque a esfera de dimensão 2 (real !) frequentemente é qualificada de reta projetiva complexa. Aí está um bonito exemplo de acrobacia matemática: chamar de reta uma esfera! 

Henri Poincaré, não dizia ele que a matemática consiste em dar o mesmo nome a coisas diferentes?

6. Transformações

( Voir dans le film: Chapitre 6 : Nombres complexes, suite)

Este capítulo se propõe a dar um pouco de intuição aos números complexos através de certas transformações da reta complexa. Uma transformação T é uma operação que associa a cada número complexo z, ou seja a cada ponto do plano, outro ponto T(z). Para ilustrar isto, coloca-se o retrato de Adrien Douady no plano e, em seguida, mostra-se a sua imagem pela transformação: cada pixel que constitui o retrato é transformado por T.

 Adrien escolheu vários exemplos de transformação T  :

T(z) = z/2
Cada número é dividido por dois. Certamente, a imagem é reduzida duas vezes: um zoom ao contrário! Chama-se a isto uma homotetia.

T(z) = iz
Trata se simplesmente de uma rotação de um quarto de volta, pela definição de i.

T(z) = (1+i)z
Dado que o módulo de 1+i é √2 e o seu argumento é 45 graus, trata-se de compor uma rotação de 45 graus e uma homotetia de um fator √2. Chama-se a isto uma semelhança. É uma das grandes vantagens dos números complexos: permitem escrever muito simplesmente as semelhanças como resultados de multiplicações.

T(z) = z²
Esta é a nossa primeira transformação não-linear. Ao colocar a foto em dois lugares diferentes, pode-se tomar consciência dos efeitos da passagem ao quadrado na reta complexa : os  módulos são elevados ao quadrado e os argumentos são duplicados. au carré dans la droite complexe : les modules sont élevés au carré et les arguments sont doublés.

T(z) = -1/z
Trata-se de uma transformação semelhante à que normalmente se chama de inversão. Evidentemente, a origem que é o número 0, não pode ser alterada, mas é preciso dizer que ela é enviada para o infinito. A razão é muito simples: se um número complexo z se aproxima de 0, ou seja, se o módulo tende para 0, sua transformada  -1/z  tem um módulo que é o inverso do módulo de z e, por isso, tende para o infinito. A transformação tem, então, a propriedade de "explodir", ou seja, de transportar para muito longe as pequenas vizinhanças da origem, até sair da tela ... Inversamente, os pontos que estão muito longe da origem  são "comprimidos" muito próximos dela (da origem).

Durante muito tempo, livros didáticos deram grande importância à inversão, o que permite demonstrar teoremas muito belos. A propriedade principal da inversão é que ela transforma círculos em círculos ou retas. Os artistas muitas vezes utilizaram estes tipos de transformações e lhes deram o nome de anamorfose.

De modo mais geral, se forem escolhidos quatro números complexos a, b, c, d, pode-se considerar a transformação 

T(z) = (az+b)/(cz+d).

T(z) = z+k/z
Esta transformação foi estudada por Joukovski, no seus estudos sobre a aerodinâmica das asas de aviões! Mas Adrien Douady poderia ter escolhido outras transformações, em particular que lhe dão uma linha mais fina que esta! A finalidade desta ilustração é mostrar uma propriedade fundamental deste tipo de transformações. Evidentemente, elas não transformam mais círculos em círculos, só as transformações de Moebius o fazem, mas isto é verdade em nível infinitesimal. Se se toma um pequeno círculo e se considera a curva transformada, ela não é um círculo, mas é muito próxima de um círculo, ainda mais próxima se o círculo inicial for muito pequeno. Outra maneira de expressar a mesma coisa é que as transformações em questão se comportam como semelhanças no nível infinitesimal. Estas mudanças são chamadas holomorfas ou conformes. As raízes grega e  latina "holo" e "con" significam "mesma" e morphe significa, naturalmente, "forma": em outras palavras, estas transformações preservam as formas. O estudo das funções holomorfas é um dos capítulos mais importantes da matemática.

6. Dynamique holomorphe

Na segunda parte do capítulo 6, Adrien Douady propõe uma iniciação a um magnífico tópico de estudo ao qual trouxe contribuições essenciais. Trata-se do estudo dos conjuntos de Julia, que, além do seu interesse matemático fundamental, é de uma beleza extraordinária (e as duas coisas estão certamente ligadas). É raro que uma teoria matemática possa ser ilustrada de uma maneira tão bonita e numerosos artistas se inspiraram nestas imagens.

A idéia inicial é muito simples: escolhe-se um número complexo c qualquer. Em seguida, se considera a transformação T_c(z) = z² + c. Trata-se num primeiro tempo de elevar ao quadrado um número depois o transladar acrescentando-lhe c. Partindo de um ponto inicial z, sua transformação é um ponto z₁= T_c(z), em seguida, se considera o transformado do transformado z₂= T_c(z₁) e se prossegue infinitamente construindo uma sequência de números complexos z_n onde cada um é o transformado do precedente. Diz-se que a sequência z_n é a  órbita do ponto inicial z pela transformação T_c. Estudar o comportamento desta sequência z_n, é compreender a dinâmica de T_c. Trata-se certamente de um exemplo muito simples, mas este exemplo é suficientemente rico para gerar matemáticas muito bonitas.

Considerem agora o caso onde c = 0. Trata-se, então, de efetuar de maneira repetida a transformação T_c(z)=z² . O módulo de cada z_n é por conseguinte o quadrado do precedente. Se o módulo de z é inferior a 1, se diz que z  está no interior do disco de raio 1, com centro na origem, e todos os z_n vão permanecer neste disco. Em contrapartida se o módulo de z é estritamente superior a 1, os módulos do z_n vão crescer sem cessar, tendendo para o infinito: a órbita de z vai terminar por sair da tela!

No primeiro caso, se diz que a órbita é estável: permanece numa zona limitada do plano. No segundo caso, é instável: foge para o infinito. O conjunto dos pontos z cuja órbita é estável é então o disco.

De uma forma geral, para cada valor de c, podem-se também distinguir dois tipos de pontos z. A órbita de z por T_c pode ser estável se ele permanece em uma parte limitada do plano, ou, instável no caso contrário. O conjunto dos z cuja órbita é estável é chamado de conjunto de Julia cheio com a transformação T_c. Compreender a estrutura desses conjuntos de Julia e a maneira como eles variam quando c varia é um problema importante da teoria de sistemas dinâmicos holomorfos. Como primeiro passo, Adrien Douady nos mostra alguns exemplos do conjunto de Julia para diversos valores de c . Alguns têm nomes exóticos como coelho (você vê suas orelhas?) para c=-0.12+0.77i.

Sabe-se a partir do início do século XX que um conjunto de Julia cheio pode ser de dois tipos. Pode ser, como mostram os exemplos acima, contido numa única região, conexo, como se diz em matemática, ou pode ser totalmente descontínuo, composto de um número infinito de pedaços divididos, cada um deles sendo internamente vazio, o que significa que, claro, não se pode vê-lo num desenho! Daí, existem valores de c para os quais se vê o conjunto de Julia e outros para os quais  não é possível vê-los (mesmo que estejam presentes). Todos os valores de c para as quais  podemos ver o conjunto de Julia (para os quais o conjunto de Julia é conexo) é chamado conjunto de Mandelbrot, para prestar homenagem ao Benoît Mandelbrot, seu inventor. Adrien Douady trabalhou muito para entender este conjunto; ajudou, por exemplo, a mostrar que ele é, de fato, conexo e que teria realmente gostado (como muitos outros) de mostrar que é localmente conexo…

O final do capítulo é dedicado a um mergulho no conjunto de Mandelbrot, mergulho profundo pois o fator de expansão é de cerca de duzentos bilhões! Você pode ver esta cena de duas formas. Olhando e admirando: isto é o suficiente porque é bonito ! Mas você também pode fazer algumas perguntas ...

Por exemplo, qual é o significado das cores? Um teorema antigo diz que o conjunto de Julia de T_c  não é conexo, em outras palavras, se diz que c não está no conjunto de Mandelbrot, se e somente se a órbita de 0 por T_c   for instável. Para um dado valor de c, se pode, portanto, tomar a órbita de z=0 para T_c e observar o seu comportamento para os grandes valores de n. Se z_n  tornar-se rapidamente  muito grande, é que c não está no conjunto de Mandelbrot e até mesmo que está bastante longe. Se a sequência z_n tende ao infinito, mas mais lentamente, o ponto c também não está no conjunto de Mandelbrot, mas está um pouco mais perto. A cor com a qual se colore o ponto c depende da velocidade de vôo para o infinito da órbita z_n, mostrando assim a "proximidade" com o conjunto de Mandelbrot. Se, pelo contrário, z_n mantém-se numa área limitada, então, c está no conjunto de Mandelbrot e é colorido de preto.

O conjunto de Mandelbrot na figura acima foi colorida, desta forma, mas há dezenas de métodos. No filme, foi utilizado o método chamado "desigualdade do triângulo": quando o módulo z_n se tornar maior que um certo valor, calculam-se os módulos A=|z_n-z_n-2|,  B=|z_n-z_n-1| e  C=|z_n-1-z_n-2|.
A/(B+C)  dando sempre um resultado entre 0 e 1, e se utiliza esse resultado para indicar a posição em relação a uma gama de cores.

Porque em alguns momentos tem-se a impressão de ver aparecerem cópias pretas pequeninas do conjunto de Mandelbrot? Isto é muito mais difícil de explicar e é uma das importantes descobertas de Adrien Douady: o conjunto de Mandelbrot possue propriedades de autosemelhança: uma característica frequente dos  conjuntos fractais. Para compreender tudo isto, ver por exemplo, esta página (em inglês).