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第5章,第6章: 複素数

数学者アドリアン・ドゥアディーが 複素数を説明する.負の数の平方根が平易に説明される.平面を変換し,画像を変形し,フラクタル図形を生成する.

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1.語り手

複素数は数学の中でもっとも美しいものであり,現在では科学にとって 必須のものになっている. 複素数の発見への道は困難なもので,その名前自体がその経過を表している:不可能数,虚数(想像上の数)と呼ばれたし,複素数(複雑な数)という名前は, 理解するのが難しい印象を与えている. 幸いなことに現在では,もうそんなに難しいものではない:今は比較的易しく教えることができる.

アドリアン・ドゥアディーがこの章の語り手だ.優れた数学者で,多く の分野に貢献しているが,自分の研究はすべて複素数に関係するものだというのを好んだ. 彼は後で説明する複素力学系の理論を再生させた数学者の一人として名高い.

複素力学系理論に特徴的なことのひとつは,現在では計算機の助けを借りて表示できる非常に美しいフラクタル集 合を生成することである. アドリアン・ドゥアディーはこのような画像の作成を先頭に立って進めた数学者の一人で,それは数学者の研究を助けるためでもあり,社会に数学の啓蒙をする ためでもあった.

ウサギのダイナミックスという数学アニメーションのビデオを作ったの もドゥアディーだ. 彼は数学の対象に驚くような名前を付けるのを好んだ: ウサギ,飛行機,シャドック(アニメーションの主人公)などだ. 彼が最近亡くなったことは数学者の社会にとって大きな悲しみだった. 彼については,フランス語のこのサイトまたはこのサイトを参照されたい.

アドリアン・ドゥアディーでも,複素数のすべての理論を2つの13分の章の中で説明することはできない … この2つの章は,先生の高校での授業や,本や,詳細な講義(例えば このサイトあるいはこのサイト参照)に代わるものではない. この2つの章は, 授業の良い 補足説明,あるいは,もっと知ろうという気持ちを鼓舞する画像, ずっと前に勉強して忘れてしまった人への思い出す助け と考えるべきものだ. もちろん,このビデオでは複素数の幾何的な側面を明らかにすることを目的としている.

2.数と変換

われわれは,直線上の点は原点の左で負,原点の右で正となる1つの数で定まるから, 1次元であることをみた. 点は幾何的な対象で,数は代数的な対象である. 数を点のように考えるあるいは点を数のように考えること,すなわち, 代数と幾何を一緒に考えることは数学で最も実り豊かな考え方のひとつである. いつものことであるが,誰か一人がこの考え方を始めたとは言い難いが,一般に 幾何の問題を代数によって研究する強力な方法はデカルトにより始められたと言われてい る:これが, 代数幾何の起源とされる. 直線上の点が数と考えると,数の間の初等計算,つまり,足し算と掛け算の幾何的な意味が分かる. この理解の仕方の鍵となるのは変換という考え方である.

例えば,ある数 x か ら 1 を引くのは,すなわち,変換 x - 1 は,幾何的には平行移動: すべての点は左に 1 だけ平行移動されると考えられる. 同様に, 2 を掛けるのは,引き伸ばしと考えられる.

-1 を掛けるのは各点 x - x に写すの だが, 対称移動:各点を原点に対して対称な点に写す変換であると考えられる. -2 を掛けるのは,これら2つの操作を組み合わせたものである. 2つの数を掛けることは,2つの数に対応する変換を合成することに対応する. 例えば, -1 を掛けるのは各点を原点に対して対称な点に写す変換だから, この変換を2度行えば,各点は元の点に戻る.一方, -1 とそれ自身の積は +1 で ある. -1 の二乗は +1 である.

-2 の二乗は同じ理由で +4 で ある. これらのことから,任意の数の二乗は正であることがわかる. 二乗が -1 となるような数は存在しない.

言い換えると, -1 平方根をもたない

画 像をクリックすれば動画が見られます.

3.  -1 の平方根

長い間, -1 の平方根が見つかりえないことは,議論の余地のな い真理であった. しかし,ルネッサンスのある時期に,勇気ある人々がこのタブー破ることもあった! √-1 を書いても良いとすると,例えば, 2+ 3 √-1 も書くことができるし, その意味をあまり考えないで形式的に計算をすることもできる. 彼らのような先駆者達は,経験的にこのようなあり得ない数の計算をおこなっても矛盾が起こることがないという結論に達し,はっきりと正当化されたわけでは ないが,この新しい数は徐々に数学者に受け入れられていった.

複素数の歴史は,かなり長いもので,どういう過程を経てそれが確立されたかを我々が記述するつもりはない. 例えば,その小史については このページを参照されたい. 極端に単純化すれば次のように言えば良いだろう. 19世紀の初めに ガウス, ヴェッ セル アルガン などの数学者は,この複素数の幾何的な意味に気がついたのである., ビデオはアルガンの単純なアイデアの簡単な紹介をしている.

( 右の画像をクリックすれば,アルガンの原著をみることができます.)

-1 という数は直線上の原点に関する対称変換,すなわち,半回 転に対応している. -1 の平方根を探すということは,2回続けて行うと半回転になる変換を探すことで ある. だから,アルガンは -1 の平方根は,4分の1回転に対応すると単に決 めたのである. 4分の1回転を2回続けて行うことは半回転すること,すなわち -1 を掛けることである.

このアイデアから出発すると, -1 の平方根は1を4分の1回転 して得られると言いたくなる. もちろん,4分の1回転で 1 を写すと,それは直線上の点ではなくなり,平面上の点となる!

アイデアは単純で美しいものである:平面上の点を数であると考えようというものだ. もちろん,その数は我々が使ってきた数とは異なるものである. だから,「伝統的な」数は実数と呼ばれ,我々が定義しようとしている平面の点に対応する数は複素数と呼ばれる.

平面上の点を2つの実数による座標 (x, y ) で表すと,我々が出発した直線は,方程式 y = 0 で定まる直線である. 4分の1回転による (1, 0) の像は (0, 1) である. この点が,アルガンが -1 の平方根と考えた点である. 数学者は,今でもこの巧妙な手品に驚いたことを忘れず,この点 i を 「虚(空想)」の点と呼んでいる. 我々は,2つの数の足し算ができる数を求めているのだから,数 x + i y を考える:この数は,平面上の点 (x, y ) に対応する.

画 像をクリックすれば動画が見られます.<.i>

まとめ:アルガンは平面の点 (x, y ) は,2つの(実)数である と考えないで,1つの(複素)数であると考えるようにと言っている. これは,驚くべきことで,人工的であるように見えるが, 後で,非常に強力なアイデアであることがわかる.

4.複素数の算術

その後は難しくない. これまでの考えをまとめると,複素数 z は, 2つの実数の組 (x, y ) である,すなわち平面上の点である と定義できる.そして, z = x + i y と書く. それから,複素数同士を足すことができ,掛けることができ,我々が普段使っている計算の性質が成り立つことを示すことになる. 例えば,複素数の和は,加える順序に依らないことを保証しなければならない. これらのことは,すべてきちんと行うことができるが,それはもちろん,このビデオを作った目的ではない… ここに複素数の理論の紹介がある.

加法は簡単である:公式 (x + i y ) + (x' + i y' ) = (x + x' ) + i (y +y' ) が成り立つ.つまり,複素数の足し算はベクトルの足し算である.

乗法は加法よりも少し難しい:

(x + i y )(x' + i y' ) = xx' + i xy' + i yx' + i 2yy' = (xx' -yy' ) + i (xy' +x'y )

ここでこの公式で十分だということは,少し奇跡的なことだ. 例えば,3つの複素数の積が積をとる順序によらず一定であることや,0でない数で割り算ができることが,この公式からすぐにわかるようにはみえない. この奇跡については,ビデオの中では説明していない… この問題の説明は,難しいことまで必要になってしまうからだ!

画像をクリックすれば動画が見られます.

この後では,2つの概念が用いられる:

複素数 z = x + iy 絶対値は,単に対応する点 (x, y ) と原点の距離である. z の 絶対値は |z | と書かれ,その値はピタゴラスの定理により, (x 2+y 2) に等しい. 例えば, i の絶対値は 1 で あり, 1 + i の絶対値は √2 である.

偏角は,複素数 z の 方向を表す. 偏角は Arg (z ) と書くが,それは横座標の軸と原点と (x, y ) を結ぶ直線との角度である. 偏角は 0 でないz に対 してのみ定義される. 例えば,i の偏角は 90 度であり, 1 の偏角は 0 度, -1 の偏角は 180 度, 1 + i の偏角は 45 度である.

数学者は長い間同じことを3次元空間に対して考えていた: 3次元空間の2点の積をどのように定義できるだろうか? それが,不可能であることがわかるまでに長い時間がかかった. 4次元の空間では,積が ab = ba を 満たすことを求めなければ,積が定義できることが発見された. この話は,さらに8次元においても,積が ( ab ) c = a ( bc ) を満たすことを求めな ければ,積が定義できるということまでわかって終わりとなった.やがて,20世紀の中ごろに,1,2,4,8という次元以外では,点同士の積を定義するこ とはできないことが理解されたのである! これらの,不思議なことを理解するには, このサイトこのサイト またはこのサイトを参照されたい.

まとめると:平面の点は1つの複素…数で定められる. 2次元だといっていた平面は1次元になってしまった! それは,矛盾ではない:平面は2次元であるが,それは,複素1次元直線 である. 実平面,複素直線… 実2次元,複素1次元.言葉の遊びに聞こえるだろうか?

5. … 再びステレオグラフ射影!

ステレオグラフ射影を思い起こそう:それは2次元の球面の北極以外の点を南極に接する平面に写す. 点が,北極に近づくと,その射影は平面上を,無限遠に向かって遠ざかっていく. しばしば,北極は無限遠点であるという.

さて,南極の接平面を複素直線だと考えると,なぜ,(実!)2次元球面が複素射影直線と呼ばれるかが理解できる. これは,数学の突飛さの良い例だ:球面を直線と呼ぶのだ!

アンリ・ポアンカレは,数学は異なるものに同じ名称を与えるというものだと言わなかっただろうか?

6.変換

(『第6章:複素数 続き』を参 照)

この章の目的は,複素直線のいくつかの変換を取り上げ複素数に対する感覚をつかむことである.

変換 T は,各複素数 z に,すなわち平面上の各点 z に, 点 T (z ) を定める 対応である. 変換が見てわかるように,アドレアン・ドゥアディーの写真を平面に置いて,その変換による像を見せる:写真のひとつひとつの画素が T で写される.

アドレアン・ドゥアディーは,変換 T の 例をいくつか挙げている:

T (z ) = z /2
各数は2で割られる.もちろん画像は半分の大きさになる:ズーム・アウトである!これは,定数倍変換と 呼ばれる.

T (z ) = i z
これは, i の定義により… 4分の1回 転である.

T (z ) = (1 + i ) z
1 + i の絶対値は  √ 2 で,偏角は 45 度だから, 45 度の回転と, √ 2 倍 の定数倍変換の合成となる. これは,相似変換と呼ばれる. 複素数の有用なところのひとつは,相似変換が積として簡単に書けることである.

T (z ) = z 2
これは非線形な変換としては,ここで最初に考える変換だ. 写真を2つの場所においてみて,複素直線において二乗することがどういうことか見ることができる:絶対値は二乗になり,偏角は倍になる.

T (z ) = - 1 / z
これは,反転と呼んでいる変換とほとんど同じものである. もちろん,原点は数 0 に対応しているから,写る点はないが,それは無限遠点に写されると考えると都合が良 い. 理由は非常に単純である:複素数 z 0 に 近づけば,すなわち,その絶対値が 0 に近づけば,その変換された点 - 1 / z の絶対値は, z の 絶対値の逆数だから,無限大になっていく. この変換は,「爆発」する性質をもっている,すなわち,原点の小さな近傍を,画面の外の非常に遠くに写すのである… 逆に,原点から非常に遠い点は,原点の非常に近くに「つぶされる」のである.

画像をクリックすれば動画が見られます.

長い間,学校教育では,反転を重要なものとして教えてきた.それによって美しい定理がいくつも証明できるから である. 反転の主要な性質は円周を円周または直線に変換することである. 芸術家も,このような変換をしばしば使っており,アナモルフォーシスと呼んでいる.

より一般に,4つの複素数 a, b, c, d を とり,変換

T (z) = ( az + b ) / ( cz + d )
を考える.

この変換は数学でも,メビウス変換,1次分数変換,射影変換など,色々な名前で呼ばれている. その変換の主要な性質は,円周を円周または直線に変換することである. これらの変換は,非ユークリッド幾何に近い,共形幾何学を与えるが,それはここでは説明できない!

T ( z ) = z + k/z
この変換はジューコフスキーが, 航空機の翼の空気力学の研究で調べたものである! アドリアン・ドゥアディーは,この変換よりも,彼がすらっとした体格に見えるような他の変換を選んでも良かった! この映像では,これらの変換の基本的な性質を説明しようとしている. もちろん,これらの変換は円周を円周に写すわけではない. そのようなものは,メビウス変換だけである. しかし,このことは,無限小の世界では成り立っている. 小さな円周を取り,その変換をみると,それは円周ではないが,円周に非常に近い曲線である.取った円周が小さければ小さいほど,円周に近づくのである. 他の言い方をすると,この変換は,無限小のレベルで相似変換としてふるまう. これらの変換は,正則(ホロモルフィック)あるいは 共形(コンフォーマル)と呼ばれる. ギリシャ語とラテン語で「ホロ」と「コン」は,「同じ」という意味で,「モルフ」と「フォーム」は「形」という意味だ:言い換えると,これらの変換は形を 保つのである. 正則関数の研究は,数学の中で最も重要なもののひとつである.

7.複素力学系

第6章の後半では,アドリアン・ドゥアディーは,彼が大きな貢献をした興味深い研究対象を紹介する. その対象はジュリア集合で,基本的な数学的重要性を持つ非常に美しい対象である(当然,重要 性と美には関係がある). 数学の理論がこのように美しく描きだされることはめったにないうえに,多 くの芸術家がこの画像からインスピレーションを受けている.

最初のアイデアは非常に単純なものだ: 任意の複素数 c をとる. 変換 Tc(z ) = z 2 + c を 考える. つまり,まず,複素数の二乗をとり,それに c を加えるのである. 最初の点z から出発して,その写った点は, z1= Tc (z ) となる.さらに写った点の 写った点 z2 = Tc(z 1) をとる.これを無限に続けて,複素数の列 zn で,各点が1つ前の点の写った点であるものが得られる. この列 zn は,点 z を起点とする変換 Tc 軌道と呼ばれる. この列 zn のふる まいの研究は,変換 Tc ダ イナミックスを理解することである. 非常に単純な例について考えているのであるが,この例が美しい数学を生み出す十分に豊富な内容を持っているのである.

最初に c = 0 の 場合を考えよう. すなわち,変換 Tc (z ) = z 2 を繰り返すことを考 えるのである. 複素数 zn の絶対 値は,その前の複素数の二乗である. もしも, z の絶対値が 1 よ りも小さいならば,すなわち, z が原点を中心とする半径 1 の円板の内部にあるならば,すべての点 zn は,この円板の中にある. 反対に, z の絶対値が 1 よ りも大きいならば, zn の 絶対値は,増加し続け,無限大になっていく: z の軌道は画面から飛び出していく!

第1の場合,軌道は安定であるという:軌道は平面のある有界な部分に とどまる. 第2の場合,軌道は不安定であるという:軌道は無限大に向かって逃げていく. 軌道が安定であるような点 z の集合は,円板であることがわかる.

一般に,各複素数 c に 対して,複素数 z は,2つの種類に分けられる. Tc に よる z の軌道が,平面のある有界な部分にとどまるならば,軌道は安 定であるし,そうでなければ,軌道は不安定である. 軌道が安定であるような点 z の集合は,変換 Tc 充填ジュリア集合と 呼ばれる. (充填)ジュリア集合の構造と,それが c の値の変化に対しどのよう に変化するかを調べるのが,複素力学系の理論である. まず,アドリアン・ドゥアディーは,いろいろな c の値に対する充填 ジュリア集合を見せてくれる. それらの中には特別な名前がついているものもある.例えば,c = -0.12+0.77 i は,ウサギと呼ばれている(耳がわかるでしょう?).

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20世紀の初頭から,充填ジュリア集合には2種類あることが知られていた. すなわち,例として見せているようなひとつながりの図形,数学の言葉では連結な図形であるか,または,完 全不連結な図形,内部を持たない無限個に分裂した断片からなる図形であるかである. 完全不連結な図形は,つまり,画像としては見えない図形のことだ! 結局, c の値には,充填ジュリア集合が画面上に見えるような c の 値と,充填ジュリア集合が(存在していることは確かだが,)画面上には見えない見えるような c の値の2種類 ある. 充填ジュリア集合が画面上に見えるような(充填ジュリア集合が連結であるような) c 全体の集合はマンデルブロー集合と呼ばれている. この名前は,この集合を生み出したブノア・マンデルブローに由来する. アドリアン・ドゥアディーは,この集合を理解するために,多くの研究を行った:彼はマンデルブロー集合が連結であることの証明に貢献し,(他の研究者とと もに)マンデルブロー集合の局所連結性の証明を夢見ていた…

この章の最後では,マンデルブロー集合の中に,深く飛び込んでいく(細かいところ,もっと細かいところを見て いく): 2000億倍のズームアップまでしていくのである! この場面では,2通りの見方ができる. 単に見て鑑賞しても良い:画像は本当に美しい!しかし,色々な疑問を持ちながら見ることもできる…

例えば,画像の色の意味は何だろうか? 古くから知られている定理によれば, Tc の 充填ジュリア集合が不連結であること,すなわち, c がマンデルブ ロー集合の点ではないことと, Tc に よる 0 の軌道が不安定であることとは同値である. c の 値に対して, Tc に よる z = 0 の軌道で,非常に大きな n の値に対するふるまいを観察する. もしも, zn の絶 対値が非常に大きければ,その点 c はマンデルブロー集合に属さない だけではなく,マンデルブロー集合からは遠くにある点である. 列 zn が,無限大 になるが,もっと遅く無限大になっていく場合には,その点 c はマン デルブロー集合に属さないけれども,マンデルブロー集合の近くにある点である. 点 c の色付けは,軌道 zn が,無限大に逃げていく速さによって付けられており,マンデルブロー集合の「近傍」を 表示している. 逆に,列 zn が, 有界な部分にとどまるならば, c はマンデルブロー集合の点であり, 黒く色付けられている.

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上の図のマンデルブロー集合は,この方法で色付けされているが,たくさんの違う方法がある.ビデオでは「三角 不等式の方法」が用いられている: . zn の 絶対値がある値よりも大きくなったとき, 絶対値 A = |zn - zn -2 | , B = |zn -zn -1| , C = |zn -1- zn -2| を計算する.
A / (B + C ) は常に, 0 1 の 間の数となる,その数を用いて色付けをしている.

なぜ,時々,黒色のマンデルブロー集合の小さなコピーが現れるように見えるのだろうか? これを説明するのは,ずっと難しいが,これがアドリアン・ドゥアディーの重要な発見のひとつなのである:マンデルブロー集合は自己相似 性を持つ.これはフラクタル集合がしばしばもつ特徴的な性質である. これらのことをもっとよく知るためには,例えばこ の英語のページを参照されたい.

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