الفصــلان 5 و 6 : الأعداد المركبة 

  يفسرعالم الرياضيات " أدريان دوادي" الأعداد المركبة، فيشرح ببساطة الجذر المربع (أوالتربيعي) للأعداد السالبة. تحويل المستوى، تغيير الصور أو إنشاء صور كسورية. 

1. الراوي:

أدريان دوادي هو مقدم هذين الفصلين. إنه رياضياتي متميز، و إسهاماته متنوعة جدا ، وكان يحب أن يقول إن أبحاثه تدور حول الأعداد المركبة. وكان بالخصوص أحد الرياضياتيين الذين أعادوا إحياء نظرية الجمل الديناميكية المركبة التي سنتحدث عنها فيما بعد.

إن من مميزات هذه النظرية أنها تولد مجموعات كسورية جميلة جدا يمكن تمثيلها اليوم بواسطة الحاسوب. وينتمي أدريان دوادي إلى أولائك الذين شجعوا وبعزم إنتاج هذا النوع من الصور، في آن واحد من أجل مساعدة الرياضياتي في بحثه، و سعيا وراء إكساب الرياضيات شعبية داخل المجتمع.

ونحن ندين له بإصداره فيلما اسمه ديناميكية الأرنب للتنشيط الرياضياتي: فقد كان يحب أن يطلق على الأشياء الرياضياتية أسماء غريبة: أرنب، طائرة،   شادوك ((Shadok) طائر خيالي في منقاره أسنان)،  الخ. و قد أحزن اختفاؤه الأخير بشكل عميق مجموعة الرياضياتيين. من أجل بعض التوضيحات بشأن شخصيته زوروا هذا  الموقع  أو هذا.              

ومن الواضح أن أدريان دوادي نفسه لا يمكنه تفسير نظرية الأعداد المركبة كلها في فصلين مدتهما 13 دقيقة... و لا يمكن لهذين الفصلين أن يعوضا درس أستاذ، أو كتابا، أو معرضا مفصلا (انظروا مثلا إلى هذا الموقع  أو إلى هذا).  و ينبغي اعتبار هذين الفصلين بمثابة مكملات أو توضيحات تشجع على الفهم أكثر، أو بمثابة تذكير للذين نسوا دروسا تلقوها منذ مدة.  بطبيعة الحال فهذا الفيلم يسعى قبل كل شيء إلى إبراز الجانب الهندسي للأعداد المركبة.

2. الأعداد و التحويلات : 

لقد رأينا سابقا أن المستقيم بعده 1 لأن من الممكن لنا أن نعرف موقعنا عليه بواسطة عدد واحد، موجب عن يمين المبدأ و سالب عن يساره. فالنقط كائنات هندسية والأعداد كائنات جبرية. وتعتبر فكرة تصورالأعداد كنقط أو تصورالنقط كأعداد، بمعنى المزج بين الجبر والهندسة، من أخصب الأفكار في الرياضيات.  وكالعادة فليس من السهل نسبة هذه الفكرة إلى رياضياتي واحد، لكن على العموم فإن ديكارت هو من تنسب إليه هذه الطريقة القوية لدراسة الهندسة من خلال الجبر: إنها ولادة الهندسة الجبرية. فإذا كانت نقط مستقيم أعدادا، يمكننا أن نفهم المعنى الهندسي للعمليتين البسيطتين: الجمع والضرب. وهكذا فإن مفتاح هذا الفهم يكمن في فكرة التحويل.

فمثلا طرح 1 من العدد x، أي التحويل x -1 ينظر إليه هندسيا كإزاحة: فكل النقط تزاح بـ 1 نحو اليسار.    وبنفس الطريقة ينظر إلى الضرب في 2 كتمدد.

أما الضرب في 1- الذي يرسل كل نقطة  x إلى x - فينظر إليه كتناظر: فكل نقطة تتحول إلى نظيرتها بالنسبة إلى المبدأ. في حين يكون الضرب في 2  -تركيبا للعمليتين السابقتين: فضرب عددين في بعضهما البعض يعود إلى تركيب التحويلين المنسوبين إليهما. مثلا التحويل المنسوب إلى الضرب في 1  -هو تناظر، و عندما نقوم   
 بهذه العملية مرتين متتاليتين، فإننا نعود إلى نقطة الانطلاق، إذ أن جداء 1  -مع نفسه هو +1. إذن مربع 1-   هو    .+1

ولنفس السبب فإن مربع 2- هو 4+. و ينتج من هذا أن مربع كل عدد يكون دائما عددا موجبا. فلا يوجد عدد مربعه يساوي 1-.

3. الجذر المربع أو التربيعي لـ 1-

لمدة طويلة، بقيت استحالة إيجاد جذر مربع للعدد 1- عقيدة لا يمكن الحديث عنها. لكن خلال عصر النهضة، تجرأت بعض العقول المبتكرة على اقتحام هذا المحظور! فإذا كنا تجرّأنا على كتابة 1- √، فيمكننا كتابة أعداد مثل1- √3 +2 كما يمكننا أيضا التعامل معها بطريقة شكلية، دون الإصرار كثيرا على محاولة فهم معانيها. استنتج هؤلاء الرواد بطريقة شبه تجريبية بأن الحساب بواسطة أعداد مستحيلة يبدو أنه لا يؤدي إلى تناقضات إلى حد أن تلك الأعداد الجديدة غدت شيئا فشيئا مقبولة لدى الرياضياتيين، دون مبررات حقيقية.

قصة هذه الأعداد الجديدة طويلة جدا، وليس في نيتنا وصف المراحل التي أدت إلى قواعد متينة. ويمكننا مثلا مراجعة هذه الصفحة   للتعرف على شيء من التاريخ.  و من أجل أكبر قدر من التبسيط، يكفي القول أنه عند منعطف القرن التاسع عشر، أدرك بعض علماء الرياضيات مثل كاوص(Gauss)، فيسيل (Wessel) وأركند (Argand) الميزة الهندسية لهذه الأعداد التخيلية. ويعرض الفيلم تقديما مبسطا لفكرة بسيطة جدا لأركاند.

(انقروا الصورة الموجودة عن اليمين للاطلاع على المقال الأصلي لأركند)

ينسب العدد 1- إلى التناظر بالنسبة إلى المبدأ على المستقيم، أي إلى دوران بنصف دورة. ويعود البحث عن جذر مربع للعدد 1-، إلى البحث عن تحويل يصير عند إنجازه مرتين متتابعتين دورانا بنصف دورة. وهكذا يصرح أركاند أن الجذر المربع للعدد 1 - ينبغي نسبته بكل بساطة إلى دوران بربع دورة. وإنجاز دورانين بربع دورة، هو بمثابة إنجاز دوران بنصف دورة، أي الضرب في العدد 1-. 

إذا انطلقنا من هذه الفكرة، فقد نميل إلى القول بأننا نحصل على جذر مربع العدد 1- انطلاقا من 1 بإنجاز دوران بربع دورة. وبالطبع فصورة 1 بدوران بربع دورة هي نقطة لا تنتمي إلى المستقيم. وهكذا نكون قد قررنا أن جذر مربع العدد 1- هو نقطة لا تنتمي إلى المستقيم ولكن إلى المستوي!

فالفكرة بسيطة وجميلة: اعتبار نقط المستوي كأعداد. عندها، طبعا، لن تكون تلك الأعداد كالتي تعودنا عليها. لهذا السبب، نقول إن الأعداد "التقليدية" هي الأعداد الحقيقية، أما الأعداد التي نُعرّفُها الآن والمنسوبة إلى نقط المستوي، هي الأعداد المركبة.

و في الخلاصة، إن أركاند يحثنا على اعتبار العددين (x,y)، ليس كعددين (حقيقيين)، وإنما كعدد واحد (مركب). وقد يبدو ذلك  مدهشا جدا ونوعا ما اصطناعيا، لكننا سنرى فيما بعد أن هذه الفكرة قوية جدا.

4. علم الحساب المركب

التتمة ليست صعبة. بعد كل هذه المضاربات، نعرّف عددا مركبا باعتباره إعطاء لعددين حقيقيين (x,y ) يعني نقطة من المستوي نرمز إليها بـ z = x + i y. ثم يتعلق الأمر بعد ذلك بالبرهنة على أن بإمكاننا جمع هذه الأعداد المركبة وضربها،  وأن جميع خاصيات الحساب التي تعودنا عليها تظل صالحة. على سبيل المثال ينبغي التأكد من أن مجموع أعداد مركبة لا يتغير إذا تم تغيير ترتيبها. وبالطبع يمكن إنجاز كل هذا بدقة كبيرة، لكنه ليس هدف هذا الفيلم... وهاهو عرض لنظرية الأعداد المركبة.
بالنسبة إلى الجمع، فالأمر هين: لدينا العلاقة  

(x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y')، 

بحيث أن جمع أعداد مركبة يعود إلى جمع أشعة.

بالنسبة إلى الضرب، فلأمر أصعب شيئا ما:

لكن هنا، إنها معجزة أن تكون هذه العبارة مرضية. فمثلا، ليس بديهيا أن نبرهن باستخدام هذه العلاقة على أن نتيجة ضرب ثلاثة أعداد مركبة لاتتغير إذا تغير ترتيبها ، أوعلى أننا نستطيع دائما القسمة على أي عدد مركب غير منعدم. وتبقى هذه المعجزة دون تفسير في الفيلم... وإلا فقد يؤدي بنا الأمر إلى أبعد من ذلك!

سنحتاج  فيما بأتي إلى مفهومين اثنين :

إن معيار (أوطويلة) عدد مركب  z = x + i y هو بكل بساطة المسافة الفاصلة بين النقطة التي تنطبق إحداثيتاها مع (x,y )، وبين المبدأ. نرمز إليه بـ | z| وهو يساوي  ^2 |1( x²+y² ) حسب مبرهنة فيثاغورس. فمثلا معيار العدد  i  يساوي 1،  ومعيار 1+i  فهو^2 |1 2.

لمدة طويلة، حاول الرياضياتيون جاهدين القيام بنفس الشيء في فضاء بعده 3: كيف يمكن ضرب نقط في الفضاء؟ وقد استغرقوا وقتا طويلا قبل أن يفهموا أن ذلك مستحيل. في الفضاء الذي بعده 4، توصلوا إلى اكتشاف أن ذلك ممكن جزئيا، شرط التخلي عن الفكرة التي مفادها أن الضرب يحقق العلاقة ab=ba! و في الفضاء الذي بعده 8 فقد انتهوا إلى التوصل إلى أن الأمر لا يزال ممكنا شرط التخلي عن الفكرة التي مفادها أن (ab)c=a(bc)، قبل أن يفهموا في أواسط القرن العشرين، أن في الأبعاد المختلفة عن 1، 2، 4 و 8 لا توجد أي طريقة لضرب النقط. ولفهم شيء من الجمل الغامضة السابقة، يمكن قراءة هذا أوهذا  أو ذلك

5. ...  الإسقاط المجسامي مرة أخرى !

تذكروا الإسقاط المجسامي : إنه يحول الكرة ذات البعد 2 والمحرومة من القطب الشمالي، على المستوي المُماس في القطب الجنوبي. إذا اقتربت نقطة من القطب الشمالي، فإن إسقاطها يبتعد في المستوي إلى حد أننا نقول إنه يؤول إلى ما لا نهاية. و نقول أحيانا إن القطب الشمالي هو نقطة ما لا نهاية.

إذا اعتبرنا الآن المستوي المماس للقطب الجنوبي مستقيما مركبا، فسنفهم لماذا تدعى الكرة ذات البعد 2 (الحقيقي) غالبا المستقيم الإسقاطي المركب. وهذا مثال رائع للمهارة الرياضياتية : تسمية مستقيم كرة!

6. التحويلات

 )شاهدوا في الفيلم: الفصل 6: الأعداد المركبة، تتمة)

يقترح هذا الفصل إعطاء بعض الحدسيات حول الأعداد المركبة من خلال بعض تحويلات المستقيم المركب.
 كل تحويل T هوعملية تنسب إلى كل عدد مركب z، أي إلى كل نقطة من المستوي، نقطة أخرى (T(z. ومن أجل توضيح ذلك، نضع صورة لأدريان دوادي على المستوي ثم نظهر بعد ذلك صورته بالتحويل: يتحول كل مربع صغير (بيكسل) من الصورة بواسطة  T.

T(z) = z/2

ُيقسم كل عدد على  2. بالطبع تتقلص الصورة مرتين: إنه "زوم" إلى الخلف(تصغير)! نسمي ذلك تحاكيا.

T(z) = iz

يتعلق الأمر بكل بساطة بدوران بربع دورة، انطلاقا من تعريف  i...

T(z) = (1+i)z

بما أن معيار العدد 1+i هو^2 |1 2 وعمدته هي 45 درجة، فإن الأمر يعود إلى تركيب دوران زاويته 45 درجة وتحاك معامله
  ^2 |1 2. نسمي ذلك تشابها. وهذا يشكل إحدى الميزات الكبرى للأعداد المركبة: إنها تسمح بكتابة التشابهات كعمليات ضرب
بشكل بسيط.

T(z) = z²

ها هو مثالنا الأول لتحويل غير خطي. بوضع الصورة في منطقتين مختلفتين، يمكن أن نعي تأثير الانتقال إلى المربع على المستقيم المركب: ترفع المعايير إلى الأس اثنين بينما تضاعف العمدات.

T(z) = -1/z

يتعلق الأمر هنا بتحويل يقترب مما نسميه عادة التعاكس(Inversion). بطبيعة الحال فالمبدأ الذي ينطبق مع العدد 0 لا يمكن تحويله. لكن نتفق على أن نقول إنه يرسل إلى ما لا نهاية. السبب بسيط جدا: إذا اقترب عدد مركب   z من 0، أي إذا آل معياره إلى 0، فإن صورته  T(z) = -1/z بهذا التحويل والتي معيارها هو مقلوب معيار z، ستؤول إلى ما لا نهاية. إذن فالتحويل يتميز بخاصية "الانفجار"، أي أنه ينقل بعيدا كل النقط المجاورة للمبدأ حتى تصبح خارج الشاشة... وفي المقابل، كل النقط التي كانت بعيدة عن المبدأ "تُسحق" بالقرب منه.

ولمدة طويلة، أولت الكتب المدرسية أهمية كبيرة للتعاكس الذي يمكّن من تبيان مجموعة من المبرهنات الجميلة جدا. والخاصة الرئيسة للتعاكس هي أنه يحوّل الدوائر إلى دوائر أومستقيمات. وغالبا ما يستعمل الفنانون هذا النوع من التحويلات فيطلقون عليها اسم  التعديل الهندسي .

وعموما، إذا ما اخترنا أربعة أعداد مركبة c ،b ،a  و d، يمكن اعتبار التحويل:

هذه التحويلات تحمل مجموعة من الأسماء في الرياضيات: تحويلات موبيوس، تجانسات، تحويلات إسقاطية، لكن خاصتها الرئيسة هي إرسال الدوائرعلى دوائر أومستقيمات. زمرة هذه التحويلات هي زمرة هندسة رائعة تدعى دائرية، وهي قريبة من الهندسة اللا إقليدية، لكن هذه قصة أخرى !

T(z) = z+k/z

دُِرس هذا التحويل من طرف يوكوفسكي في دراساته حول الديناميكية الهوائية لأجنحة الطائرات ! وكان بمقدور أدريان 

دوادي اختيار تحويلات أخرى، وبالضبط تلك التي تعطي خطا أدق من هذا! والهدف من هذا التصوير هو إبراز خاصة أساسية لهذا النوع من التحويلات.  بطبيعة الحال، فهي لا تحول الدوائر إلى دوائر،  فتحويلات موببيوس وحدها تحقق ذلك، لكن ذلك يبقى صحيحا على المستوى اللامتناهي في الصغر. إذا أخذنا دائرة صغيرة، واعتبرنا منحنيها المُحوّل، نجد أنه ليس دائريا لكنه قريب من دائرة، و يزداد قربا منها كلما كانت الدائرة الأصلية صغيرة. وطريقة أخرى للتعبيرعن نفس الشيء هي أن نقول إن هذه التحويلات تتصرف كتشابهات على مستوى لا متناه في الصغر. ونقول عن هذه التحويلات إنها هولومرفية 

(Holomorphes) أوامتثالية (Conformes). فالجذران الإغريقي واللاتيني "holo" و"con" يعنيان "نفس" و "morphe" تعني بالطبع "شكل": وبتعبيرآخر فهذه التحويلات تحفظ الأشكال. ودراسة  الدوال الهولومورفية هي أحد أهم فصول الرياضيات.

في الجزء الثاني من الفصل 6، يقترح أدريان دوادي مدخلا رائعا لموضوع دراسةٍ ساهم فيه بشكل كبير.  يتعلق الأمر بدراسة مجموعات جوليا (Julia)، والتي بالإضافة إلى أهميتها الرياضياتية الأساسية تتميز بجمالية رائعة (والشيئان مرتبطان بطبيعة الحال). ونادرا ما تُوَضَّح نظرية رياضياتية بطريقة أجمل، وقد استوحى  كثير من الفنانين  من هذه الصور.

الفكرة التي ننطلق منها بسيطة جدا: نختار عددا مركبا كيفيا c. ثم نعتبر التحويل  T_c(z) = z² + c. وهكذا يتعلق الأمرأولا برفع عدد إلى الأ س اثنين ثم إزاحته بإضافة العدد c إلى الناتج. انطلاقا من نقطة بدابة  z، تكون صورتها بهذا التحويل هي ( z₁= T_c(z، ثم نعتبر صورة الصورة بهذا التحويل (z₂= T_c(z₁، ونواصل العملية إلى ما لا نهاية، فنُحدث بذلك متتالية أعداد مركبة  z_n حيث يكون كل عدد فيها صورةً للعدد السابق بهذا التحويل. نقول إن المتتالية ( z_n) هي مدار النقطة الابتدائية  z بالتحويل T_c. ودراسة تصرف هذه المتتالية ( z_n) هي بمثابة فهم لديناميكية التحويل  T_c. بطبيعة الحال فالأمر يتعلق هنا بمثال بسيط جدا، لكنه غني بما فيه الكفاية لينتج رياضيات جميلة جدّا.

لنعتبر أولا الحالة c = 0. يتعلق الأمر بإنجاز متكرر للتحويل T_c(z)=z ². معيار كل عدد z_n هو إذن مربع معيار العدد السابق. إذا كان معيار العدد  z أصغر من 1، أي إذا كان  z يوجد داخل القرص الذي نصف قطره 1 والممركز في المبدأ، فإن جميع الأعداد z_n ستبقى داخل هذا القرص. وفىالمقابل، إذا كان معيار z أكبر تماما من 1، فستكبر معاييرالأعداد z_n وتؤول إلى ما لا نهاية: إذن سيغادرمدار z الشاشة!
 

في الحالة الأولى، نقول إن المدار مستقر: فهو يبقى في منطقة محدودة من المستوي. أما في الحالة الثانية فهو غير مستقر: إنه ينفلت نحو ما لا نهاية. إذن فمجموعة النقط  z التي مدارها مستقر هي القرص.

وعموما، فإن من أجل كل قيمة لـ c يمكن التمييز بين نوعين من النقط z.  يمكن أن يكون مدار z   بالتحويل  T_c مستقرا إذا بقي في منطقة محدودة من المستوي، أوغير مستقر في الحالة الأخرى. ومجموعة النقط  z التي مدارها مستقر تُدعى مجموعة جوليا المملوءة للتحويل T_c. ويشكل فَهمُ بنية مجموعات جوليا هذه والطريقة التي تتغير بها لمّا يتغيرc غايةً قُصوى لنظرية نظم الديناميكيات الهولومورفية. في مرحلة أولى، يقدم لنا أدريان دوادي بعض الأمثلة لمجموعات جوليا من أجل قِيَمٍ مختلفة لـ c. فبعضها يحمل أسماء غريبة، مثل الأرنب (هل ترون أذنيه؟) من أجل  c = - 0.12+0.77i.

نعلم منذ بداية القرن العشرين أن مجموعة جوليا المملوءة يمكن أن تنتمي إلى أحد صنفين. يمكن أن تكون قطعة واحدة كما رأينا في الأمثلة السابقة، أومرتبطة كما نقول في الرياضيات. أو يمكنها أن تكون متقطعة كليا، مكونة من عدد غير منته من القطع المتفجرة  داخل كل منها  خال، مما يعني بوضوح أننا لا نتمكن من رؤيتها على رسم! و نتيجة ذلك أن هناك بعض القيم لـ c نرى من أجلها مجموعة جوليا، و قيم أخرى من أجلها لا نتمكن من رؤيتها رغم وجودها. ومجموعة قيم c التي تسمح برؤية هذه المجموعة (التي من أجلها تكون مجموعة جوليا مترابطة) تسمى  مجموعة مندلبرو، وذلك تكريما لمخترعها  بونوا مندلبرو (Benoît Mandelbrot). وقد اشتغل أدريان دوادي كثيرا لفهم هذه المجموعة؛ فقد ساهم على سبيل المثال في تبيان أنها نفسها مترابطة كما أنه ودّ (مثل آخرين كثر) لوأنه استطاع تبيان أنها مترابطة محليا…

وتخصص نهاية الفصل للغوص في مجموعة مندلبرو،  غوصا عميقا، حيث أن رتبة معامل التمدد مائتا مليار! 

ويمكننا ملاحظة هذا المشهد بطريقتين مختلفتين.

يمكننا النظر إليها والإعجاب بها: فهي جميلة بما فيه الكفاية لذلك. ولكن يمكننا أيضا طرح بعض التساؤلات...

فمثلا، ماذا تعني تلك الألوان؟ وتؤكد مبرهنة قديمة أن مجموعة جوليا لـ T_c غير مترابطة، بعبارة أخرى أن c لا ينتمي إلى مجموعة مندلبرو إذا و فقط إذا كان مدار 0  بالتحويل T_c غير مستقر. و من أجل قيمة محددة لـ c، يمكننا أخذ مدا رلـ T_c  من أجل z = 0 وملاحظة تصرفه من أجل قيم كبيرة لـ n. إذا كان z_n   يكبر بسرعة، فإن c لا ينتمي إلى مجموعة مندلبرو بل إنه بعيد عنها. وإذا كانت المتتالية (z_n) تؤول  إلى ما لا نهاية لكن ببطء، فإن c لا يزال خارج مجموعة مندلبرو، لكنه قريب منها بعض الشيء. ونلون النقطة c حسب سرعة انفلات المدار z_n إلى مالا نهاية، مبينا بذلك قربه من مجموعة مندلبرو. وفي المقابل إذا مكث z_n في منطقة محدودة، فإن c ينتمي إلى مجموعة مندلبرو ونلونه بالأسود.

لقد لونت مجموعة  مندلبرو في الرسم الموجود أعلاه بهذه الطريقة، ولكن هناك عشرات الطرق لفعل ذلك. في الفيلم استخدمنا طريقة تدعى "المتباينة المثلثية": عندما يصبح معيار z_n أكبر من قيمة محددة، نحسب المعايير

 يعطي (A/(B+C  دائما قيمة محصورة بين 0 و1، ونستعمل هذه النتيجة لتحديد الموضع على صفيحة ألوان.

لماذا نشعر في بعض الأحيان بظهور نسخ جديدة سوداء لمجموعة مندلبرو؟ تفسير هذه الظاهرة أصعب بكثير، و هي تعد من أهم اكتشافات أدريان دوادي : تتوفر مجموعة مندلبرو على خاصيات التشابه الذاتي : وهي خاصية شائعة بين المجموعات الكسورية. ومن أجل فهم أفضل لهذا كله، زوروا على سبيل المثال هذه الصفحة (بالإنجليزية).