الفصـــلان 3 و4: البعد الرابع

 يحدثنا عالم الرياضيات لودويغ شلَيْفلي عن أشياء في البعد الرابع و يقدم لنا عرضا لمتعددات وجوه منتظمة في البعد الرابع، أشياء غريبة ذات 24، 120 و حتى 600 وجه.

 1. لودويغ شلَيْفلي والآخرون

ترددنا كثيرا في اختيار مقدم لهذا الفصل. إن فكرة البعد الرابع ليست فكرة شخص واحد؛ وقد استدعى الأمر عددا من العقول المبدعة لكي تتمكن هذه الفكرة من التأسيس و الاندماج في الرياضيات. من بين الرواد، يمكن ذكر ريمان الكبير الذي سيكون مقدم الفصل الأخير والذي كانت لديه، دون أي شك، فكرة واضحة جدا حول البعد الرابع منذ منتصف القرن التاسع عشر.

لكننا أعطينا الكلمة إلى لودويغ شلَيْفلي (1814-1895)، خاصة لأن هذا العقل الفذ يكاد اليوم يطويه النسيان، حتى من طرف علماء الرياضيات. إنه من الأوائل الذين تفطنوا إلى أنه و إن بدا فضاؤنا الطبيعي ثلاثي الأبعاد، فليس هناك من مانع من تصور فضاء من البعد 4، و حتى من إثبات نظريات في الهندسة تخص كائنات رياضياتية من البعد 4.

كان البعد الرابع، بالنسبة إليه، تجريدا صرفا؛ لكن ليس هناك أدنى شك في أنه وبعد سنوات من العمل، أصبح يشعر بارتياح أكثر في البعد الرابع عما كان عليه في البعد الثالث. كان عنوان مؤلَّفه الرئيس هو "نظرية الاستمرار المتعدد"

( Theorie der vielfachen Kontinuität) وقد تم نشره سنة 1852.
يجب القول في هذا الصدد أن عددا قليلا من القراء أدرك أهمية هذا الكتاب في تلك الفترة. بل طال الانتظار حتى مطلع القرن العشرين لكي يفهم علماء الرياضيات أهمية هذا العمل الضخم. لمزيد من المعلومات حول شلَيْفلي أنظروا هنا أو هنا.

حتى في كنف مجتمع الرياضياتيين، احتفظ البعد الرابع زمنا طويلا بمظهره الغامض والمستحيل. أما بالنسبة إلى عامة الناس فقد كان البعد الرابع يوحي تارة بقصص علم الخيال التي تجري فيها حوادث خارجة عن نطاق الحياة الطبيعية وتارة أخرى كان يوحي بنظرية النسبية لآينشتاين: "البعد الرابع هو الزمن، أليس كذلك ؟"
 الأمر يعني هنا إدماج مسائل الرياضيات والفيزياء. سنعود إلى هذا الموضوع باختصار لاحقا.

لنحاول أولا ضبط البعد الرابع مثلما فعل شلَيْفلي، مثلا كإبداع محض من العقل.

2. فكرة البعد

يبدأ شلَيْفلي، شارحا على السبورة، بتذكيرنا بأشياء سبق أن رأيناها في الفصلين السابقين. كل مستقيم هو من البعد 1 لأنه يلزم عدد حقيقي واحد لتحديد موقع على مستقيم وهي فاصلة نقطة، سالبة عن يسار المبدأ و موجبة عن اليمين.

مستوي السبورة من البعد 2 لأنه من أجل تحديد موضع في هذا المستوي نستطيع رسم مستقيمين متعامدين على السبورة ثم تعريف موضع النقط بالنسبة إلى هذين المحورين: إنهما الفاصلة والترتيب. بالنسبة إلى الفضاء الذي نعيش فيه يمكن أن نكمل المحورين على السبورة برسم محور ثالث يعامد السبورة. بطبيعة الحال، إنه من النادر فعلا أن يكون لدينا طبشور يرسم مستقيمات تخرج عن مستوي السبورة، لكن بما أننا نستعد للانطلاق نحو البعد الرابع فإننا بحاجة إلى طباشير سحرية.

كل نقطة من الفضاء يمكن تحديد موضعها بثلاثة أعداد جرت العادة على الإشارة إليها بـ  z ،y ،x 

ومن أجل ذلك نقول إن الفضاء ثلاثي الأبعاد.  

نحن نود بطبيعة الحال لو استطعنا الاستمرار في هذه الطريقة لكن ليس من الممكن رسم محور رابع عمودي على المحاور الثلاثة السابقة؛ لا توجد هنا أي مفاجأة لأن الفضاء الطبيعي الذي نعيش فيه ثلاثي الأبعاد.  والبحث عن البعد الرابع ليس هنا بطبيعة الحال، بل في خيالنا.

يطرح علينا شلَيْفلي حلولا عديدة لبلورة فكرة حول البعد الرابع. ليست هناك طريقة واحدة، مثلما لم تكن هناك طريقة واحدة لتفسير البعد الثالث إلى الحيوانات المسطحة.

الطريقة الأولى هي الأكثر واقعية (براقماتية)، نستطيع ببساطة أن نقرر أن نقطة ما من الفضاء الرباعي الأبعاد هي مجرد إعطاء أربعة أعدا د  t ،z ،y ،x.  

الشيء السلبي في هذه المقاربة هو أننا لا نرى الشيء الكثير. لكنها منطقية تماما ومعظم علماء الرياضيات يكتفون بها.

 يمكن إذن أن نحاول نسخ التعاريف المعتادة في البعدين 2 و3، ابتغاء محاولة تعريف أشياء في البعد الرابع.

على سبيل المثال، يمكن أن نسمي مستويا (زائد يا) مجموعة النقط  (z،y، x) التي تحقق معادلة خطية من الشكل  e =  ax + by + cz + dt بنسخ التعريف المماثل لمستو في الفضاء. 

بمثل هذا النوع من التعاريف،  من الممكن تطوير هندسة متينة، وإثبات مبرهنات (نظريات)، إلخ.

.في الواقع، يتعلق الأمر هنا بالطريقة الوحيدة لمعالجة جدية للفضاءات ذات الأبعاد الأعلى

لكن هدف هذا الفيلم ليس هو أن يكون جديا أكثر مما ينبغي، بل أكثر من ذلك، وهو أن "يبين" البعد الرابع و يشرح الحدس الذي لدى بعض علماء الرياضيات حوله.

إن حيوانا زاحفا يخرج من عالمه ليلج في البعد الثالث، عليه أن يتوقع مفاجئات ويلزمه وقت كاف لكي يتكيف. نفس الشيء هذا يظل صحيحا بالنسبة إلى عالم الرياضيات الذي يرتفع إلى البعد الرابع بالتشبيه

المثال الذي تناوله شلَيْفلي هو مثال التسلسل: " قطعة من مستقيم، مثلث متقايس الأضلاع، رباعي وجوه منتظم". تدفعنا هذه الأشياء إلى الشعور بالتساؤل. لا يوجد هنا أدنى شك في أن رباعي الوجوه المنتظم تعميم، بطريقة ما، في البعد الثالث، للمثلث المتقايس الأضلاع. إذن فما هو الشيء الذي يعمم رباعي الوجوه في البعد الرابع؟

نلاحظ بعد ذلك أن في المثلث و في رباعي الوجوه يوجد حرف يربط كل الرؤوس ببعضها. إذا حاولناربط الرؤوس الخمسة فيما بينها، دون مراعاة الفضاء الذي ننجز فيه الرسم، نرى أن ذلك يتطلب عشرة أحرف. بعد ذلك،  نحاول بصوره جد طبيعية أن نضع وجوها مثلثية لكل ثلاثية من الرؤوس. نجد أيضا عشرة.  ثم نستمر بوضع رباعي وجوه لكل رباعية من الأحرف. إن الشيء الذي أنشأناه ليس له بَعد وضع تام الوضوح... نعرف منه الرؤوس، الأحرف، الوجوه، الوجوه ثلاثية الأبعاد لكننا لسنا بعد نراه بصورة واضحة.

   3. متعددات وجوه شلَيْفلي

إن المضلعات ترسم في المستوي ومتعددات الوجوه في الفضاء الثلاثي الأبعاد. إن الأشياء المماثلة في البعد 4 (أوأكثر) تأخذ الاسم العام "متعددات الرؤوس" (polytopes)

 حتى و إن كان في كثير من الأحيان يُستمر في تسميتها متعددات الوجوه ليس إلا.

خماسي الرؤوس

  Pentachore,  Pentatope

4. "الرؤية" في البعد4

تُظهِر الصورة عن اليمين ذا 600 يعبر فضاءنا الثلاثي الأبعاد. بما أن البعد 4 ليس من اليسير فهمه، فإنه ليس من غير المفيد  أن نستعمل طرقا متعددة متكاملة أخرى.

إن الطريقة الأخرى التي يتناولها الفيلم هي، تقريبا أكثر وضوحا من طريقة المقاطع. كان أيضا من الممكن استعمالها مع الزواحف. يتعلق الأمر هنا بطريقة الرسام الذي يريد رسم منظر يحتوي أشياء من البعد الثالث على قماشة الرسم (اللوحة) والتي هي في البعد 2. يُسقط الرسام المنظر على القماشة. يمكنه، على سبيل المثال، أن يضع منبعا ضوئيا خلف الشيء الذي يريد رسمه ثم يلاحظ ظل هذا الشيء على قماشة الرسم. لا يعطي ظل الشيء سوى معلومات جزئية عنه، لكننا إذا ما جعلنا الشيء يدور أمام الضوء ولاحظنا الكيفية التي يتشوه بها هذا الظل نستطيع، في أغلب الأحيان أن نكوّن فكرة دقيقة جدا حول هذا الشيء. كل ذلك هو ما يدعى فن المنظور

(La Perspective ).

نفس الشيء يحدث هنا: يمكن أن نتخيل أن كائن البعد الرابع الذي نريد تمثيله موجود في الفضاء الرباعي الأبعاد وأن ضوءا يسقط ظله على قماشة الرسم والتي هي الآن فضاؤنا الثلاثي الأبعاد. إذا ما دار الشيء في الفضاء الرباعي الأبعاد فإن ظله يتغير ونستطيع عندئذ أن نتصور شكل هذا الشيء حتى وإن لم نكن نراه.

السبب هنا هو أن هذا القادم الجديد جديد فعلا؛ إنه لا يعمم في أي حال من الأحوال متعدد وجوه من البعد الثالث مثلما هي الحال بالنسبة إلى متعددات الوجوه الأخرى. زد على ذلك أنه يتمتع بتلك الخاصة الرائعة ألا وهي كونه ذاتي الثنوية: على سبيل المثال، إن عدد وجوهه ذات البعد 2 يساوي  عدد وجوهه ذات البعد 1 (الأحرف)، وعدد وجوهه ذات البعد 3 يساوي عدد وجوهه ذات البعد 0 (الرؤوس).
أخيرا نشاهد متعددَي الوجوه : ذا الـ 120 وذا الـ 600 اللذين سبق أن شاهدنا مقاطعهما. تكشف لنا هذه الرؤية الجديدة مظاهر أخرى لمتعددات الوجوه هذه من البعد الرابع، والتي هي قطعا معقدة كثيرا.
لهاتين الطريقتين، طريقة المقاطع و طريقة الظلال ميزات، لكن يجب الاعتراف بأنها لا تُنصِف كل تناظرات هذه الأشياء الرائعة.
في الفصل القادم سنستعمل طريقة أخرى وهي طريقة الإسقاط المِجْسامي. ربما ستكون رؤيتنا بهذه الطريقة أكثر وضوحا.

5. "الرؤية" في البعد 4 : الإسقاط المِجْسامي

(أنظروا الفيلم الفصل 4 : البعد الرابع، تتمة)

بداية الفصل تشرح ما هي الكرة S³  لكن بطبيعة الحال فحتى شلَيْفلي لا يستطيع أن يظهرها.

أكثر ما يستطيع فعله هو أن يريكم الكرة S²  ، وأن يشجعكم على أن تتصرفوا كأنكم في

 الفضاء الرباعي الأبعاد وأن تتخيلوا الكرة S³... إن الإسقاط المجسامي الذي قدمه

هيبارخوس يسقط الكرةS²    على مستويها المماس في القطب الجنوبي.

يمكن أن نتصرف تماما بنفس الطريقة مع  .S³ نأخذ الفضاء المماس في القطب الجنوبي

للكرة S³ و هو فضاء ثلاثي الأبعاد ثم إننا بعد ذلك نستطيع إسقاط أي نقطة من S³  (ما عدا 

قطبها الشمالي) على هذا الفضاء. يكفي تمديد المستقيم المنطلق من القطب الشمالي و المار 

بالنقطة إلى تقاطعه مع الفضاء المماس في القطب الجنوبي و حتى إن كان ذلك في البعد 4 فإن 

الرسم مماثل للذي سبق أن رأيناه.

إنه المشهد الذي يعرضه الفصل 4 : إسقاط متعددات وجوه شلَيفْلي مجساميا مع تدويرها...
إن هندسة الفضاءات رباعية الأبعاد ما هي إلا بداية بطبيعة الحال، لأن هناك فضاءات من البعد 5، 6... و حتى من البعد غير المنتهي.
وحتى وإن كان تصميم هذه الأشياء أول الأمر محض تجريد، فإن الفيزياء المعاصرة تستعملها على أوسع نطاق.
إن نظرية النسبية لآينشتاين تستعمل " فضازمانْا "(من فضاء - زمان) من البعد 4. كل نقطة من هذا الفضازمانِ توصف بثلاثة أعداد تصف موقعا،
وعدد رابع يصف لحظة (زمنا).
لكن قوة نظرية النسبية هي بالضبط كونها، إن صح القول، أنها تمزج هذه الإحداثيات الأربعة دون أن تحاول التمييز بين الزمن والفضاء اللذين يفقدان خصوصياتهما.
 لا نقوم هنا بشرح هذه النظرية ربما لأن شلَيفْلي لم يكن يعرفها. 

تعود نظرية آينشتاين إلى 1905، إذن بعد ظهور فكرة الرياضيات للبعد 4.
ليست هي المرة الأولى ولا المرة الأخيرة التي تتفاعل فيها الفيزياء والرياضيات بهذه الطريقة، كل يقدم طرائقه بأهداف وحوافز مختلفة لكن متقاربة.
زد على ذلك، ألا تفترض الفيزياء فضاءات من البعد 10 بل و أكثر؟ ألا تعمل الفيزياء الكمية في فضاء ذي بعد غير منته ؟ يجب الانتظار قليلا حتى نقوم بإنتاج فيلم حول الفضاءات ذات البعد 10...