第三、四章：四維空間

數學家 Ludwig Schläfli 介紹了存在於四維空間中的物體，讓我們見識到了一系列奇形怪狀的四維正多面體。它們有著24、120、甚至600個面!

一、Ludwig Schläfli 與其它人

我們猶豫了許久才選出本章節的主講人。四維空間的概念並非僅源於一人，而是靠著無數前人的創造力，才得以在數 學的領域中發 展出完整的架構、受到全然的內化。偉大的黎曼(Riemann)即屬眾先鋒之一。黎曼將擔任最末章的主講人。毫無疑問地，他對於四維空間於十九世紀中葉時 期發展成之概念，亦有透徹的瞭解。

但是我們請來了 Ludwig Schläfli (1814-1895) 的主要原因是這位開山始祖如今幾乎已遭人們遺忘，甚至於數學圈內也不例外。他是最先能領會到此概念的人之一：即便我們身處的空間似為三維，我們仍可作出對 四維空間的想像，或甚至證明有關四維數學物件之幾何定理。對他而言，雖然四維空間是一個完全抽象的概念，但在長年的深入研究之後，他一定會覺得處在四維空 間比在三維空間中自在多了！他的重要著作為發表於1852年的《Theorie der vielfachen Kontinuität》。在當時，瞭解這篇論文的重要性的人可謂寥寥無幾0一直到二十世紀初期，數學家們才領會到此篇巨著的要領。參 見 此處 或 此處 以獲得更多 Schläfli 的相關資料。

四維空間有許多年一直呈現著一種神秘、不可能的樣貌，就算於數學界中也不例外。對一般人來說，四維空間常使人 聯想到的是充 滿違反現實情節的科幻小說，或者有時候是愛因斯坦(Einstein)的相對論：「第四維就是時間，不是嗎？」。然而，這樣子是把數學跟物理上的問題混為 一談。我們將會在短時間內回來討論這一點。首先，讓我們設法像 Schläfli一樣地來理解純粹由想像而生的四維空間吧！

二、維的概念

Schläfli 用黑板來提醒我們在前面章節中學過的幾個概念。一條線是一維的，因為我們只須一個B 8字即可確認其中一點之位置。這個數字稱為該點的橫座標，或是x座標，於原點左邊取負值，而於右則正。

黑板的平面是二 維的， 因為如欲確認其中一點的位置，可在黑板上畫下互相垂直的兩條直線，然後再描述出該點相對於這兩根軸的位置即可：它們即為橫座標和縱座標（x 座標與 y 座標）。對於我們所處於的空間，可再加畫第三條垂直於黑板的軸線。我們當然不太可能找得到可以把直線畫到黑板外面去的粉筆，但是我們都已經準備好要開始四 維世界的旅程了，理當需要神奇粉筆的幫助才行！

如此一來，我們就可以用三個數字（一般設為 x、y 與 z 來描述空間中任何一點的位置，而這就是為什麼我們要說空間是三維的原因。當然，我們還會想要繼續往下推廣，但是想要畫出垂直於原本的三條直線的第四條軸是 不可能的；這是理所當然的事，因為我們所處於的自然空間是三維的，故我們不應在此尋找四維空間，而是憑藉著我們的想像力… …。

Schläfli 提出了幾種可使我們瞭解四維概念的方法。就如同向扁平蜥蜴解釋三維空間一般，在這可用上的解釋方法也不只一種。透過多個不同方法的組合，我們便得以一覽四 維空間。

第一 種方 法是最實際的一種。我們直接規定四維空間內任意一點只不過是四個數字的集合： x、y、z、t。這樣做的壞處是：對任何物件，我們都不易將其加 以具象化。不過，這種方法完全符合邏輯，且為大部份8 4數學家所接受。透過此法，我們就可以參考二維與三維空間，嘗試如法砲製地給出各種四維空間之物體的定義。例如，複製空間內一平面的定義，我們可以定義一 個（超）平面為一組點集，其所有點的座標 (x, y, z, t) 皆滿足型如 ax+by+cz+dt = e 的線性方程。在這種定義底下，我們就可以發展出一整套符合邏輯的幾何、證明定理等 等。事實上，這是唯一可以嚴謹地處理高維空間的方法。但本片並不以「過度嚴謹」為目地，而是旨於「展示」出四維空間，並且解釋一些數學家對它的直觀想法。

Schläfli 接著給出一種「類推」的解釋。其構想是：認真地觀察一、二與三維空間，注意其中某些現象，然後假定這些現象在四維空間中仍成立。此過程頗為困難，且並不完 全適用於所有情況。一隻離開了自己的世界，進入了三維空間的蜥蜴定要做好遇到驚喜的心理準備，而需要一段時間適應。對於藉由「類推」的方法，進入了四維空 間的數學家也是如此。Schläfli 以線段、正三角、正四面9 4的序列為例。我們發現到這些物件之間存在著某種類推關係，而毫無疑問地，正四面體在某些方面上將正三角形推廣到了三維空間。

那麼，將正四面體推廣到了四維空間的東西又是什麼呢？

線段有兩個頂點，屬於一維空間。三角A 2有三個頂點，屬於二維空間。四面體有四個頂點，屬於三維空間。不禁使人想像：此序列將會繼續發展下去，而存在著這麼一個四維物件，它有著五個頂點，延續 了這一序列。我們可以發現：三角形和四面體的各雙頂點之間皆由一條邊所互相連接。若我們先不在意繪製圖形所在的空間，而嘗試著把五個頂點兩兩相連，那麼我 們就會發現需要十條邊才行。然後，自然而然地，我們會試著在每三個頂點間都配置一個三角形。我們同樣地會發現需要十個三角形。接著，我們繼續在每四個點間 都配置一個四面體。我們還能完全地弄清這個東西的形態……我們已知道它的頂點、邊、面以及三維面，但其真面 目尚朦朧不清。數學家使用了 組合學 來描述已知之事：我們知道是哪些邊連結了哪些頂點，但我們仍然不能由幾何的觀點看到此物件。這個被剛我們猜想而出，而將線段、三角、四面體的序列延續下去 的物件，被稱作單體！

三、Schläfli 多面體

多邊形是處在平面上，而多面體則是存在於一般的三維空間裡。四維（或更高維）空間中類似的物體一般而言被稱為 多 胞體，雖然它們常直接被稱為多面體。

柏拉圖討論了普通三維空間內的正多面體，而 Schläfli 則描述了四維空間內的正多面體。其中，有些多面體的性質十分豐富，而本片欲將這些多面體展示給處於三維空間中的觀眾們（就是你和我！），採用的方法則與本 片向蜥蜴們展示柏拉圖體時所使用的方法相同，而非像是在展示一盆花或是一本書（無可否認地，要向您展示四維空間的花朵對本片的作者們將十分地困難。真可 惜！）。這裡我們有 Schläfli 最美麗的貢獻之一：對 四維空間中六個正多面體完整且確切的描述。它 們皆存在於四維空間中，故它們有著頂點、邊、二維面、與三維面。以下將這些多面體的名稱與邊、面等數量整理成一個表格：

這將有助於瞭解它們的具體形象。參見 這裡 或 這裡 或是 這裡 以獲得更多四維空間中的多面體之相關資料。

四、「看」進四維

我們怎麼在四維空間中「看」到東西？不幸地，我們無法給你4D眼鏡，但是還有其它方法可循。

截面法：

我們跟蜥蜴起初的時後一樣地開始。我們正處在我們的三維空間中，而我們想像有個東西從四維空間中經過，然後漸漸地穿過我們的三維空間。

此截面正在我們的空間中，且它現在是一個變形中的多面體，而不是一個變形多邊形。藉由觀察此截面之形狀漸漸地 變化，直至消 失不見為止，我們就可以得到對於四維多面體的形狀的一種直覺。用這種方法要認出該物體並不容易，而對於蜥蜴們來說更是困難。

在影片中我們見到了超立方體、120、600 這三個多面體。看它們穿過我們的空間，展示著它們的變形三維多面體截面，令人印象十分地深刻，但卻不易瞭解。

右圖為 600 穿過我們的三維空間之情形。

由於四維空間不易瞭解，不妨採用幾種相輔相成的方法。

成影法：

我們於此章中給出的另一個方法幾乎比截面法更顯而易見。對蜥蜴也可以使用這種方法。這是畫家為了將三維的景色 在二維的畫布 上表示出來所採用的技巧。他將景象投影到畫布上。舉例而言，他可以於物體後面放置一光源，然後觀察此物體在畫布留下的陰影。物體的陰影只能給出部份的資 訊，但我們若把物體置於光源前旋轉，然後觀察影子變化的方式，我們通常就可以得出對於該物體非常確切的概念。這些都是 透視法 的藝術。

同理：想像我們想要表現的四維物體正位在四維空間中，而有一個燈源將其投影到我們的三維空間中的畫布上。若該 物體在四維空 間中旋轉，影子就會被變形，而我們就能得到對此物體的概念，儘管我們是看不見它的！

首先，我們看到了超立方體。相較於截面法之下，我們能更清楚地看見它。

再來則是我們認為是 Schläfli 最以其為榮的 24！原因在於這個新出現的物體實在是非常地 新奇；與其它多面體不同的是，它並不是由任何一種三維多面體所推廣而來的。再者，它有著奇妙的自對偶(self-dual)性質：例如， 它的二維面數與一維面數（邊數）相C，而三維面數與零維面數（頂點數）也相同。

最後，我們看到了之前已經見過其截面的 120 與 600 體。這種新的檢視方法讓這些實為複雜的四維多面體呈現出了其它的面貌。截面與成影這兩種方法各有其所長，但無可否認地，它們並沒有把這些美麗的物體所擁有 的對稱性充分地表達出來。

我們將於下一章中使用另一種方法，稱為球極投影法！也許它有助於我們看得更為清楚？

五、「看」進四維：球極投影

（參見影片第四章：四維空間 （續））

Schläfli 給了我們最後一種表示四維多面 體的方法。它 應用了球極投影法。不過，這當然與喜帕恰斯在第一章中給我們看到的投影法不同！

考慮一四維空間內之球面。我們使用常見的方法來定義這樣的一個球面：它是所有與球心等距的點之集合。我們已經 知道三維空間 中的球面是二維的，因為所有的點都可為經度與緯度所形容。在某種意義上，三維球面「缺少了一個維度」：離球面之高度。故它只是二維的。同樣地C四維球面是 三維的，而它亦「缺少」了一個同樣是離球面之高度的維度。

在平面，即二維空間中，一個球面是什麼呢？它是與一個中心點等距的所有點的集合，又被稱為圓。故一個圓就是二 維空間裡的一 個球面！而它很明顯地是一維的，因為一個數字即足以描述圓上一點的位置。

更為驚人的是：在一維空間中，即一條線上，一個球面是什麼？所有與線上一個定點等距之點的集合。只存在兩個這 樣的點，一左 一右……因此一維球面只含有兩個點……毫不驚人地我們說它是 零維的。

總結：n 維空間中的球面是 n-1 維的。故，數學家們採用 S^n-1 這個符號。

本章開頭解釋了 S³ 球 面是什麼，不過當然連 Schläfli 也不能讓我們看到它。他充其量只能給您看著一個 S² 球面，接著請您假想著您是身處在四維空間中一般，一邊想像 S³ 球面的樣子。喜帕恰斯給我們看的球極投影法是將 S² 球面投影到了其接於南極之切平面。對於 S³， 我們可以使用完全相同的方法。先取接 S³ 球面於南極的切平面，然後 S³ 上除了北極外的任何一點即皆可被投影至此空間內。只要把從北極出發通過該點的直線延伸直至其與接於南極之切空間相交即可… …即使是在四維空 間中進行，這實是由我們之前早已見過的方法類推而來。

假設 Schläfli 接著想要給我們看一種四維多面體。他的做法與我們對蜥蜴所使用的方法一樣。他使多面體膨脹，直到它在 S³ 球面上留下其痕跡。然後，他就可以將其球極投影至接於南極之切平面上，即我們的三維空間中，而我們便可以觀察此投影。

我們也可以把 S³ 球面放置於其切平面上滾動，同時投影，然後欣賞這些多面體舞動。注意：當球面上的多面體的其中一面滾過投影極點時，該平面在切平面上會形成一無窮投影，而 我們就會覺得這一面好像是在螢幕上爆炸開來一樣。在第一章中，當多面體被投影到平面上時，我們也曾有同樣的感覺。

這就是第四章所要展示的：將 Schläfli 多面體球極投影，同時使其滾動。

四維空間的幾何只不過是一個開端而已。還有五維、六維……與無 窮維度空間！ 這些起初被認為是純粹抽象概念的空間於現代物理中的應用頗廣。愛 因斯坦的相對論就使用到了四維的時 空(space-time)。位於此時空中的一點可被三個描述位置與一個（第四個）描述時間的數字確認。

但相對論的厲害就在於它能使這四個座標在某種方面上合在一起，不致於過度偏袒時間或空間，進而使得這些座標失 去了自身的特 性。我們對 這個理論 並不多作解釋，因為 Schläfli 並不知道它！愛氏理論源於1905年，遠遲於四維空間的數學概念誕生之時。物理與數學，在各具不同卻又極為相近的目標與動機的情形之下，能夠如此富有成效 地互相作用，貢獻出各自的方法，並非空前絕後之事……

另外，現今的物理不是假設了十維或更高維空間的存在性、量子物理也使用了無窮維度的空間嗎？過了一陣子之後， 我們將會製作 討論十維空間的影片……。