Capítulos 3 e 4 : A quarta dimensão 

O matemático Ludwig Schläfli nos fala de objetos na quarta dimensão e nos  mostra um desfile de poliedros regulares em dimensão 4, objetos estranhos de 24, 120 e mesmo de 600 faces!

1. Ludwig Schläfli  e os outros

Hesitamos muito para escolher o apresentador deste capítulo. A idéia da quarta dimensão não foi de um só homem e foram necessários numerosos espíritos criativos para que pudesse, definitivamente, ser estabelecida e assimilada em matemática. Entre os precursores, pode-se citar o grande Riemann que será o apresentador do último capítulo e que teve, sem dúvida alguma, uma idéia muito clara da quarta dimensão a partir da metade do décimo nono século.

Mas vamos dar a palavra a Ludwig Schläfli (1814-1895), em especial porque este espírito original, hoje, está quase esquecido, mesmo entre os matemáticos. Foi um dos primeiros a ter tomado consciência que ainda que o nosso espaço físico pareça bem de dimensão 3, nada impede de imaginar um espaço de dimensão 4, e mesmo de demonstrar teoremas de geometria que se referem aos objetos matemáticos de dimensão 4. Para ele, a quarta dimensão era uma abstração pura, mas não há dúvida que após anos de trabalho, ele deveria se sentir mais à vontade na quarta dimensão que na terceira! A sua obra principal intitula-se Theorie der vielfachen Kontinuität e foi publicada em 1852. É necessário dizer que poucos leitores perceberam a importância deste livro na época. Foi necessário esperar o início do vigésimo século para que os matemáticos compreendessem o interesse de tal trabalho monumental. Para mais informações sobre Schläfli, ver aqui  ou aqui .

Mesmo na comunidade dos matemáticos, a quarta dimensão manteve por  muito tempo o seu aspecto misterioso e impossível. Para o público em geral, a quarta dimensão evoca frequentemente histórias de ficção científica nas quais fenômenos paranormais produzem-se, ou às vezes, evoca a teoria da relatividade de  Einstein: "a quarta dimensão, é o tempo, não é verdade ?” É confundir perguntas de matemática e de física. Retornaremos,  em breve, adiante. Tentemos primeiro apreender a quarta dimensão como Schläfli, por exemplo, como uma pura criação do espírito!

2. A idéia de dimensão

Schläfli começa por nos recordar as coisas que vimos nos capítulos precedentes, explicando-se no quadro. Uma reta é de dimensão 1 porque para se localizar sobre uma reta, é necessário um só número. É a abcissa de um ponto, negativo à esquerda de uma origem e positiva, à direita.

O plano do quadro é de dimensão 2  porque para se localizar neste plano, pode-se traçar duas retas perpendiculares sobre o quadro e localizar a posição dos pontos em relação a estes dois eixos: são a abcissa e a ordenada. Para o espaço no qual vivemos, se pode completar os dois eixos do quadro, traçando um terceiro eixo, perpendicular ao quadro. Certamente, é bem raro ter um giz que trace retas saindo do quadro, mas como nos preparamos para partir para a quarta dimensão, temos necessidade de um giz mágico!

Todo ponto no espaço pode então ser localizado por três números denominados tradicionalmente como x, y e z, e é por isto que se diz que o espaço é de dimensão 3. Gostaríamos certamente de poder continuar, mas não é possível traçar um quarto eixo perpendicular aos três precedentes; e isto não é uma surpresa porque o espaço físico no qual vivemos é de dimensão 3 e não é aí que se faz necessário procurar a quarta dimensão, mas antes, na nossa imaginação...

Schläfli nos propõe várias soluções para se ter uma idéia da quarta dimensão. Não há apenas um só método, da mesma maneira que não há apenas um só método para explicar a terceira dimensão para os lagartos do plano. É a associação destes métodos que nos permitirá ter uma visão da quarta dimensão

O primeiro método é mais pragmático. Pode-se simplesmente decretar que um ponto no espaço de dimensão 4 não é nada além que a informação de quatro números: x, y, z, t. O inconveniente desta abordagem é que não se vê grande coisa. Mas é completamente lógica e satisfaz a maior parte dos matemáticos. Pode-se então tentar copiar as definições habituais em dimensão 2 e 3, para tentar definir objectos na quarta dimensão. 

Por exemplo, pode-se chamar (hiper)plano o conjunto dos pontos (x, y, z, t) que verificam uma equação linear, da forma ax+by+cz+dt = e, copiando a definição análoga de um plano no espaço. Com este tipo de definição, pode-se desenvolver, uma geometria sólida, demonstrar teoremas, etc. De fato, se trata da única maneira de tratar seriamente os espaços de dimensões superiores. Mas o objetivo deste filme não é ser "demasiado sério" mas  de "mostrar" a quarta dimensão e de explicar a intuição que certos matemáticos têm disso.

Schläfli expõe-nos em seguida um método "por analogia". A ideia é observar com cuidado as dimensões 1, 2 e 3, observar certos fenômenos, depois  supor que estes fenómenos existem ainda na quarta dimensão. É um jogo difícil que não aparece facilmente! Um lagarto que sai do seu mundo e entra na terceira dimensão deve esperar surpresas e precisar de  tempo para se adaptar. "Por analogia”, a mesma coisa é verdadeira para o matemático que se joga na quarta dimensão ...  O exemplo tomado por Schläfli é o da sequência "segmento, triângulo equilátero, tetraedro regular". Sente-se uma analogia entre estes objetos, e não tem dúvida que o tetraedro generaliza, de certa forma, na dimensão  3, o triângulo eqüilátero.

Então, qual é o objeto que generaliza o tetraedro na quarta dimensão?

O segmento tem dois vértices e está na dimensão 1. O triângulo tem três vértices e está na dimensão 2. O tetraedro tem quatro vértices e está na dimensão 3. É tentador pensar que a sequência continua e que existe um objeto no espaço de dimensão 4 que tem cinco vértices e que continua a série. Observa-se em seguida que no triângulo e no tetraedro, há uma aresta que une todos os vértices entre si. Se tentar unir os cinco vértices entre si, sem refletir muito no espaço no qual se faz o desenho, vê-se que é necessário dez arestas. Então, se tenta muito naturalmente colocar faces triangulares para cada terno de vértices. Encontram-se ainda dez. Em seguida, continua-se colocando tetraedro para cada quádruplo de arestas. O objeto que acabamos de construir não tem ainda uma estrutura muito clara... nós  conhecemos os vértices, as arestas, as faces, as faces de dimensão 3 mas não o vemos ainda muito claramente. O matemático fala de combinatória para descrever o que conhecemos: sabemos quais arestas ligam quais vértices, mas não temos ainda uma visão geométrica do objeto. Este objeto do qual acabamos de adivinhar a existência, que continua a lista segmento, triângulo, tetraedro, é chamado um simplexo!

3. Os poliedros de Schläfli

Os polígonos são traçados no plano e os poliedros no espaço de dimensão 3. Os objetos análogos em dimensão 4 (ou mais!) levam o nome geral de politopos ainda que, bem freqüentemente, se continue a chamá-los simplesmente de poliedros.

Como Platão discutiu poliedros regulares no espaço usual de dimensão 3, Schäfli descreveu poliedros regulares em dimensão 4. Alguns são de uma riqueza inconcebível e o filme propõe mostrar aos espectadores de dimensão 3 (vocês e eu!) da mesma maneira que o filme mostrou os poliedros de Platão aos lagartos, em vez de um jarro de flores ou um livro (mas é preciso reconhecer que os autores do filme seriam incapazes de mostrar flores em dimensao 4, que pena !). Trata-se de uma das mais bonitas contribuições de Schläfli: a descrição precisa de seis poliedros regulares em dimensão 4. Como são em dimensão 4, têm vértices, faces de dimensão 2 e faces de dimensão 3. Eis um quadro que indica os nomes destes poliedros, os seus números de arestas, faces etc..

Isto será útil para apreciar bem as suas visualizações. Para mais informações sobre poliedros em dimensão 4, ver  aqui ou lá, ou ainda lá.

4. "Ver" em dimensão 4

Como "ver" em dimensão 4? Infelizmente, não podemos dar-lhes lunetas 4D, mas há outros meios.

O método das secções:

Primeiro, podemos fazer como os lagartos. Estamos no nosso espaço de dimensão 3 e imaginamos que um objeto se desloca progressivamente no espaço de dimensão 4 e vem cortar o nosso espaço de dimensão 3 progressivamente.

A secção está agora no nosso espaço e em vez de ser um polígono que se deforma, é um poliedro que se deforma. Podemos ter uma intuição da forma do poliedro de dimensão 4 observando as secções que se deformam gradualmente e terminam por desaparecer. Reconhecer o objeto desta maneira não é fácil, menos fácil ainda que para os lagartos...

No filme, tomamos em seguida conhecimento de três destes poliedros: o hipercubo e os que chamamos de 120 e de 600. Vê-se cortá-los no espaço e mostrar as secções que são poliedros de dimensão 3 que se deformam. Impressionante! Mas não é fácil de compreender...

A imagem à direita mostra o 600 que atravessa o nosso espaço de dimensão 3.

Como a dimensão 4 não é fácil de compreender, não é inútil utilizar vários métodos complementares.

O método das sombras:

O outro método apresentado neste capítulo é quase mais evidente que o das secções. Teríamos podido utilizá-lo igualmente com os lagartos. Trata-se de um pintor que quer representar uma paisagem que contém objetos de dimensão 3 sobre a sua tela que é de dimensão 2. Projeta a imagem sobre a tela. Por exemplo, pode colocar uma fonte luminosa atrás do objeto e observar a sombra do objeto sobre a tela. A sombra do objeto dá apenas uma informação parcial  mas se fizer girar o objeto na frente da luz e se se observa a maneira como a sombra deforma-se, pode-se frequentemente fazer uma idéia bem precisa do objeto. Isto  é a arte da perspectiva.

Aqui, é a mesma coisa: pode-se pensar que o objeto de dimensão 4 que queremos representar encontra-se no espaço de dimensão 4 e que uma luz projeta a sua sombra sobre uma tela que é agora o nosso espaço de dimensão 3. Se o objeto se move no espaço de dimensão 4, a sombra altera-se e fazemos uma ideia da forma do objeto ainda que não o vejamos!

Vemos então o hipercubo, de maneira bem mais clara que com as secções.

Agora, o  24, este objeto do qual pensamos que Schläfli se orgulhava mais! A razão é que esta nova visão é realmente nova; não generaliza nenhum poliedro de dimensão 3, como no caso de outros poliedros. Além disso, tem esta propriedade maravilhosa de ser autodual: por exemplo, tem  tantas faces de dimensão 2 quantas faces de dimensão 1 (as arestas) e tantas faces de dimensão 3 quantos faces de dimensão 0 (os vértices).

E por último, vemos os poliedros 120 e 600 cujas secções já vimos. Esta nova visão nos mostra outros aspectos destes poliedros de dimensão 4, que são decididamente bem complicados. Estes dois métodos, as secções e as sombras,  têm vantagens, mas é necessário reconhecer que não fazem justiça a todas as simetrias destes magníficos objetos.

No capítulo seguinte, utilizaremos um outro método, o da projecção estereográfica! Será que verão um pouco mais claro?

5. "Ver" em dimensão 4: a projeção estereográfica

(Ver o filme do Capítulo 4: a quarta dimensão, a seguir)

Schläfli nos mostra um último método para representar poliedros de dimensão 4. Trata-se simplesmente de utilizar a projeção estereográfica. Mas certamente, não se trata da mesma projeção que Hiparco nos mostrou no capítulo 1! 

Imaginem-se no espaço de dimensão 4 e considerem uma esfera. Para definir tal esfera, utiliza-se a definição habitual: trata-se do conjunto dos pontos deste espaço que estão à mesma distância de um ponto que se chama centro. Vimos que a esfera no espaço de dimensão 3 é de dimensão 2, dado que os seus pontos são descritos por uma longitude e uma latitude. De certa forma, a esfera no espaço de dimensão 3 é apenas de dimensão 2 porque "falta-lhe uma dimensão": a altitude acima da esfera. Da mesma maneira, a esfera no espaço de dimensão 4 é de dimensão 3 e "lhe falta" igualmente uma dimensão que é ainda a altitude acima da esfera.

O que é uma esfera no plano, i.e., no espaço de dimensão 2 ? É o conjunto dos pontos à mesma distância de um centro, em outros termos um círculo.Um círculo é portanto  uma esfera no espaço de dimensão 2 ! E é bem de dimensão 1 dado que é suficiente um só número para localizar-se sobre um círculo. Mais surpreendente: o que é uma esfera num espaço de dimensão 1, ou seja numa reta? O conjunto dos pontos à mesma distância de um ponto dado sobre uma reta. Tem apenas dois, um à esquerda e outro à direita... A esfera no espaço de dimensão 1 não contém senão dois pontos... Não surpreende que se diga que é de dimensão 0! 

Resumamos:  no espaço de dimensão n, a esfera é de dimensão n-1 e é por isto que os matemáticos a notam S^n-1.

No início do capítulo se explica o que é a esfera S³ , mas certamente, mesmo Schläfli não pode mostrá-la. O melhor que se pode fazer é lhes mostrar uma esfera S² , incentivá-los a fazer como se estivessem num espaço de dimensão 4 e imaginar a esfera S³... A projeção estereográfica apresentada por Hiparco projeta a esfera S² sobre o seu plano tangente no pólo sul. Pode-se proceder exatamente da mesma maneira com S³. Toma-se o espaço tangente no pólo sul da esfera S³, que é um espaço de dimensão 3 e pode-se em seguida projetar qualquer ponto de S³. (exceto o seu pólo norte) sobre este espaço. É suficiente prolongar a reta que parte do pólo norte e que passa pelo ponto até à sua interseção com o espaço tangente no pólo sul... Ainda que esteja em dimensão 4, a figura é análoga à que já vimos.

Suponhamos então que Schläfli queira nos mostrar um destes poliedros em dimensão 4. Faz como já fizemos com os répteis. Infla o poliedro até que esteja desenhado sobre a esfera S³.. Em seguida, pode-se projetar estereograficamente no plano tangente no pólo sul, que é o "nosso" espaço de dimensão 3 e podemos por conseguinte observar a projeção.

Pode-se também fazer rolar a esfera S³  sobre o seu plano tangente e projetar seguidamente de forma a observar a dança do poliedro. É necessário observar que quando a rotação da esfera leva uma face do poliedro a passar pelo pólo de projeção, a projeção da face correspondente torna-se infinita e tem-se a impressão que explode sobre a tela. Tinhamos a mesma impressão no capítulo 1 quando eram projetados poliedros no plano.

É o espectáculo que propõe o capítulo 4: projetar poliedros de Schläfli estereograficamente fazendo-o girar...

A geometria dos espaços de dimensão 4 não é senão um início porque existe espaços de dimensão 5, 6... e mesmo infinito! Concebidos inicialmente como puras abstrações, a física contemporânea o utiliza largamente. A teoria da relatividade de  Einstein utiliza espaço-tempo de dimensão 4. Um ponto deste espaço-tempo é descrito por três números que descrevem uma posição e por um quarto que descreve um momento.

 Mas a força da teoria da relatividade é precisamente misturar em certa medida estas quatro coordenadas sem procurar privilegiar o tempo ou o espaço que perdem assim as suas individualidades. Não vamos explicar aqui esta teoria talvez porque Schläfli não a conhecia! A teoria de Einstein data de 1905, por conseguinte bem após a eclosão da idéia matemática de dimensão 4. Não é a primeira vez, nem a última, que a física e a matemática interagem assim, cada uma  trazendo os seus métodos, com objetivos e motivações bem diferentes, e no entanto tão próximas... 

De resto, a física de hoje não postula espaços de dimensão 10 ou mesmo mais, e a física quântica não trabalha num espaço de dimensão infinita? Será necessário esperar um pouco ainda para que produzam um filme sobre os espaços de dimensão 10...