第三、四章：四维空 间

一、Ludwig Schläfli 与其它人

我们犹豫了许久才选出本章节的主讲人。四维空间的概念并非仅源于一 人，而是靠着无数前人的创造力，才得以在数学的领域中发展出完整的架构、受到全然的内化。伟大的黎曼(Riemann)即属众先锋之一。黎曼将担任最末章 的主讲人。毫无疑问地，他对于四维空间于十九世纪中叶时 期发展成之概念，亦有透彻的了解。

但是我们请来了 Ludwig Schläfli (1814-1895) 的主要原因是这位开山始祖如今几乎已遭人们遗忘，甚至于数学圈内也不例外。他是最先能领会到此概念的人之一：即便我们身处的空间似为三维，我们仍可作出对 四维空间的想象，或甚至证明有关四维数学对象之几何定理。对他而言，虽然四维空间是一个完全抽象的概念，但在长年的深入研究之后，他一定会觉得处在四维空 间比在三维空间中自在多了！他的重要著作为发表于1852年的《Theorie der vielfachen Kontinuität》。在当时，了解这篇论文的重要性的人可谓寥寥无几0一直到二十世纪初期，数学家们才领会到此篇巨著的要领。参 见 此处 或 此处 以获得更多 Schläfli 的相关资料。

四维空间有许多年一直呈现着一种神秘、不可能的样貌，就算于数学界 中也不例外。对一般人来说，四维空间常使人 联想到的是充 满违反现实情节的科幻小说，或者有时候是爱因斯坦(Einstein)的相对论：「第四维就是时间，不是吗？」。然而，这样子是把数学跟物理上的问题混为 一谈。我们将会在短时间内回来讨论这一点。首先，让我们设法像 Schläfli一样地来理解纯粹由想象而生的四维空间吧！

二、维的概念

Schläfli 用黑板来提醒我们在前面章节中学过的几个概念。一条线是一维的，因为我们只须一个数字即可确认其中一点之位 置。这个数字称为该点的横坐标，或是x坐标，于原点左边取负值，而于右则正。

黑板的平面是二 维的，因为如欲确认其中一点的位置，可在黑板上 画下互相垂直的两条直线，然后再描述出该点相对于这两根轴的位置即可：它们即为横坐标和纵 坐标（x 坐标与 y 坐标）。对于我们所处于的空间，可再加画第三条垂直于黑板的轴线。我们当然不太可能找得到可以把直线画到黑板外面去的粉笔，但是我们都已经准备好要开始四 维世界的旅程了，理当需要神奇粉笔的帮助才行！

如此一来，我们就可以用三个数字（一般设为 x、y 与 z 来描述空间中任何一点的位置，而这就是为什么我们要说空间是三维的原因。当然，我们还会想要继续往下推广，但是想要画出垂直于原本的三条直线的第四条轴是 不可能的；这是理所当然的事，因为我们所处于的自然空间是三维的，故我们不应在此寻找四维空间，而是凭借着我们的想象力… …。

Schläfli 提出了几种可使我们了解四维概念的方法。就如同向扁平蜥蜴解释三维空间一般，在这可用上的解释方法也不只一种。透过多个不同方法的组合，我们便得以一览四 维空间。

第一 种方法是最 实际的一种。我们直接规定四维空间内任意一点只不过是四个数字的集合： x、y、z、t。 这样做的坏处是：对任何对象，我们都不易将其加 以具象化。不过，这种方法完全符合逻辑，且为大部份数学家所接受。透过此法，我们就可以参考二维与三维空间，尝试如法炮制地给出各种四维空间之物体的定 义。例如，复制空间内一平面的定义，我们可以定义一 个（超）平面为一组点集，其所有点的坐标 (x, y, z, t) 皆满足型如 ax+by+cz+dt = e& nbsp;的线性方程。在这种定义底下，我们就可以发展出一整套符合逻辑的几何、证明定理等等。事实上，这是唯一可以严谨地处理高维空间的方法。但本片并 不以「过度严谨」为目地，而是旨于「展示」出四维空间，并且解释一些数学家对它的直观想法。

Schläfli 接着给出一种「类推」的解释。其构想是：认真地观察一、二与三维空间，注意其中某些现象，然后假定这些现象在四维空间中仍成立。此过程颇为困难，且并不完 全适用于所有情况。一只离开了自己的世界，进入了三维空间的蜥蜴定要做好遇到惊喜的心理准备，而需要一段时间适应。对于藉由「类推」的方法，进入了四维空 间的数学家也是如此。Schläfli 以线段、正三角、正四面体的序列为例。我们发现到这些对象之间存在着某种类推关系，而毫无疑问地，正四面体在某些方面上将正三角形推广到了三维空间。

那么，将正四面体推广到了四维空间的东西又是什么呢？

线段有两个顶点，属于一维空间。三角形有三个顶点，属于二维空间。 四面体有四个顶点，属于三维空间。不禁使人想象：此序列将会继续发展下去，而存在着这么一个四维对象，它有着五个顶点，延续 了这一序列。我们可以发现：三角形和四面体的各双顶点之间皆由一条边所互相连接。若我们先不在意绘制图形所在的空间，而尝试着把五个顶点两两相连，那么我 们就会发现需要十条边才行。然后，自然而然地，我们会试着在每三个顶点间都配置一个三角形。我们同样地会发现需要十个三角形。接着，我们继续在每四个点间 都配置一个四面体。我们还能完全地弄清这个东西的形态……我们已知道它的顶点、边、面以及三维面，但其真面 目尚朦胧不清。数学家使用了 组合学 来描述已知之事：我们知道是哪些边连结了哪些顶点，但我们仍然不能由几何的观点看到此对象。这个被刚我们猜想而出，而将线段、三角、四面体的序列延续下去 的物件，被称作单形！

三、Schlä fli 多面体
多边形是处在平面上，而多面体则是存在于一般的三维空间里。四维（或更高维）空间中类似的物体一般而言被称为 多 胞体，虽然它们常直接被称为多面体。

柏拉图讨论了普通三维空间内的正多面体，而Schl& amp; amp; amp; amp; amp; auml;fli则描述了四维空间内的正多面体。其中，有些多面体的性质十分丰富，而本片欲将这些多面体展示给处于三维空间中的观众们（就是你和我！）， 采用的方法则与本 片向蜥蜴们展示柏拉图体时所使用的方法相同，而非像是在展示一盆花或是一本书（无可否认地，要向您展示四维空间的花朵对本片的作者们将十分地困难。真可 惜！）。这里我们有Schläfli最美丽的贡献之一：对四维空间中六个正多面体完整且确切的描述。它 们皆存在于四维空间中，故它们有着顶点、边、二维面、与三维面。以下将这些多面体的名称与边、面等数量整理成一个表格：

正五胞体

5

10

10个三角形

5个四面体

正八胞体

16

32

24个正方形

8个立方体

正十六胞体

8

24

32个三角形

16个四面体

正二十四胞体

24

96

96个三角形

24个八面体

正一百二十胞体

600

1200

720个五边形

120个十二面体

;正六百胞体

120

720

1200个三角形

600个四面体

这将有助于了解它们的具体形象。参见 这里 或 这里 或是 这里 以获得更多四维空间中的多面体之相关数据。

四、「看」进四维

我们怎么在四维空间中「看」到东西？不幸地，我们无法给你4D眼 镜，但是还有其它方法可循。

截面法：

我们跟蜥蜴起初的时后一样地开始。我们正处在我们的三维空间中，而我们想象有个东西从四维空间中经过，然后渐渐地穿过我们的三维空间。

此截面正在我们的空间中，且它现在是一个变形中的多面体，而不是一 个变形多边形。藉由观察此截面之形状渐渐地 变化，直至消 失不见为止，我们就可以得到对于四维多面体的形状的一种直觉。用这种方法要认出该物体并不容易，而对于蜥蜴们来说更是困难。

在影片中我们见到了超立方体、120、600 这三个多面体。看它们穿过我们的空间，展示着它们的变形三维多面体截面，令人印象十分地深刻，但却不易了解。
右图为 600 穿过我们的三维空间之情形。

由于四维空间不易了解，不妨采用几种相辅相成的方法。

成影法：

我们于此章中给出的另一个方法几乎比截面法更显而易见。对蜥蜴也可 以使用这种方法。这是画家为了将三维的景色 在二维的画布 上表示出来所采用的技巧。他将景象投影到画布上。举例而言，他可以于物体后面放置一光源，然后观察此物体在画布留下的阴影。物体的阴影只能给出部份的资 讯，但我们若把物体置于光源前旋转，然后观察影子变化的方式，我们通常就可以得出对于该物体非常确切的概念。这些都是 透视法 的艺术。

同理：想象我们想要表现的四维物体正位在四维空间中，而有一个灯源 将其投影到我们的三维空间中的画布上。若该 物体在四维空 间中旋转，影子就会被变形，而我们就能得到对此物体的概念，尽管我们是看不见它的！
首先，我们看到了超立方体。相较于截面法之下，我们能更清楚地看见它。

再来则是我们认为是 Schläfli 最以其为荣的 24！原因在于这个新出现的物体实在是非常地 新奇；与其它多面体不同的是，它并不是由任何一种三维多面体所推广而来的。再者，它有着奇妙的自对偶(self-dual)性 质：例如，它的二维面数与一维面数（边数）相同，而三维面数与零维面数（顶点数）也相同。

最后，我们看到了之前已经见过其截面的 120 与 600 体。这种新的检视方法让这些实为复杂的四维多面体呈现出了其它的面貌。截面与成影这两种方法各有其所长，但无可否认地，它们并没有把这些美丽的物体所拥有 的对称性充分地表达出来。

我们将于下一章中使用另一种方法，称为球极投影法！也许它有助于我 们看得更为清楚？

五、「看」进四维：球极投影

（参见影片第四章：四维空间 （续））

Schläfli 给了我们最 后一种表示四维多面体的方法。它应用了球极投影法。不过，这当然与喜帕恰斯在第一章中给我们看到的投影法不同！
考虑一四维空间内之球面。我们使用常见的方法来定义这样的一个球面：它是所有与球心等距的点之集合。我们已经 知道三维空间 中的球面是二维的，因为所有的点都可为经度与纬度所形容。在某种意义上，三维球面「缺少了一个维度」：离球面之高度。故它只是二维的。同样地C四维球面是 三维的，而它亦「缺少」了一个同样是离球面之高度的维度。

在平面，即二维空间中，一个球面是什么呢？它是与一个中心点等距的 所有点的集合，又被称为圆。故一个圆就是二维空间里的一个球面！而它很明显地是一维的， 因为一个数字即足以描述圆上一点的位置。

更为惊人的是：在一维空间中，即一条在线，一个球面是什么？所有与 在线一个定点等距之点的集合。只存在两个这样的点，一左 一右……因此一维球面只含有两个点……毫不惊人地我们说它是 零维的。

总结：n 维空间中的球面是 n-1 维的。故，数学家们采用 Sn-1 这个符号。

本章开头解释了 S3 球 面是什么，不过当然连 Schläfli 也不能让我们看到它。他充其量只能给您看着一个 S2 球面，接着请您假想着您是身处在四维空间中一般，一边想象 S3 球面的样子。喜帕恰斯给我们看的球极投影法是将 S2 球面投影到了其接于南极之切平面。对于 S3， 我们可以使用完全相同的方法。先取接 S3 球面于南极的切平面，然后 S3 上除了北极外的任何一点即皆可被投影至此空间内。只要把从北极出发通过该点的直线延伸直至其与接于南极之切空间相交即可… …即使是在四维空 间中进行，这实是由我们之前早已见过的方法类推而来。

假设Schläfli接着想要给我们看一种四维多面体。他的做法与我们对蜥蜴所使用的方法 一样。他使多面体膨胀，直到它在 S3 球面上留下其痕迹。然后，他就可以将其球极投影至接于南极之切平面上，即我们的三维空间中，而我们便可以观察此投影。

我们也可以把 S3 球面放置于其切平面上滚动，同时投影，然后欣赏这些多面体舞动。注意：当球面上的多面体的其中一面滚过投影极点时，该平面在切空间上会形成一无穷投影，而 我们就会觉得这一面好像是在屏幕上爆炸开来一样。在第一章中，当多面体被投影到平面上时，我们也曾有同样的感觉。

这就是第四章所要展示的：将 Schläfli 多面体球极投影，同时使其滚动。

四维空间的几何只不过是一个开端而已。还有五维、六维& amp; amp; amp; amp; amp; hellip;…与无 穷维度空间！这些起初被认为是纯粹抽象概念的空间于现代物理中的应用颇广。爱因斯坦的 相对论就使用到了四维的时 空(space-time)。位于此时空中的一点可被三个 描述位置与一个（第四个）描述时间的数字确认。

但相对论的厉害就在于它能使这四个坐标在某种方面上合在一起，不致 于过度偏袒时间或空间，进而使得这些坐标失去了自身的特性。我们对这个理论并不多作解释，因为Schläfli并不知道 它！爱氏理论源于1905年，远迟于四维空间的数学概念诞生之时。物理与数学，在各具不同却又极为相近的目标与动机的情形之下，能够如此富有成效 地互相作用，贡献出各自的方法，并非空前绝后之事……

另外，现今的物理不是假设了十维或更高维空间的存在性、量子物理也 使用了无穷维度的空间吗？过了一阵子之后， 我们将会制作讨论十维空间的影片……。