|
|
|
Hoofdstukken 5 en 6 : Complexe getallen
Wiskundige
Adrien Douady
legt uit wat complexe getallen zijn: de vierkantswortel van negatieve
getallen eenvoudig uitgelegd, een vlak transformeren, beelden vervormen
en fractalen...
|
|
|
1. De presentator
De complexe
getallen zijn
een van de mooiste hoofdstukken van de wiskunde, en zijn een essentieel
onderdeel van de wetenschappen geworden. De weg naar hun ontdekking was
niet gemakkelijk, en dat vinden we nog terug in de terminologie: men
sprak over onmogelijke getallen, imaginaire getallen, en het
bijvoeglijk naamwoord '"complex" laat al vermoeden dat ze niet
gemakkelijk te begrijpen zijn. Gelukkig is dat vandaag niet meer het
geval, en we kunnen ze op een relatief eenvoudige manier voorstellen.
|
|
|
Adrien Douady is de presentator
van deze
hoofdstukken. Hij was een buitengewone wiskundige en zijn bijdragen
zijn zeer gevarieerd, maar toch zei hij zei graag dat al zijn
onderzoekswerk draaide rond complexe getallen. Hij heeft de theorie van
dynamische systemen doen heropleven, en daarover zeggen we verder nog
iets meer.
Een van de karakteristieken van die theorie is dat
ze
aanleiding geeft tot mooie fractale verzamelingen, die men nu met
computers gemakkelijk kan tonen. Adrien Douady was een van de mensen
die de produktie van dergelijke beelden altijd heeft aangemoedigd,
zowel om de wiskundige te helpen bij zijn werk, als om wiskunde te
populariseren bij een groot publiek.
Hij heeft ook een wiskundige animatiefilm gemaakt:
La dynamique du
lapin
(De dynamiek van het konijn). Wiskundige objecten gaf hij graag
verbazende namen, zoals konijn, vliegtuig of "shadok" (een
tekenfilmfiguurtje). Zijn recente heengaan heeft de wiskundige
gemeenschap zeer bedroefd. Om meer te weten over zijn persoon,
kijk hier of hier.
|
|
Het is duidelijk dat Adrien Douady niet gans de
theorie
van de complexe getallen kan uitleggen in twee hoofdstukken van 13
minuten... Die twee hoofdstukken kunnen geen cursus van een leraar
vervangen, of een boek (zie bijvoorbeeld deze
site of dit online boek).
Men moet deze hoofdstukken beschouwen als aanvullingen, of als
illustraties
die aanzetten om er meer over te weten, of misschien als opfrissing
voor
diegenen die het lang geleden geleerd hebben, maar het grotendeels
vergeten zijn. In de film tonen we vooral het meetkundig aspect van
complexe getallen.
2. Getallen en transformaties
We hebben al gezien dat een rechte dimensie 1
heeft,
want men kan een plaats bepalen op een rechte met slechts
één getal, positief rechts van de oorsprong, en
negatief
links ervan. Punten zijn meetkundige wezens, en getallen zijn
algebraische wezens. Het idee om getallen te vereenzelvigen
met
punten, en punten met getallen, met andere woorden, het vermengen van
de algebra en de meetkunde, is een van de meest vruchtbare
ideeën
van de wiskunde. Zoals gewoonlijk kan men een dergelijk idee niet aan
één enkel persoon toewijzen, maar toch denkt men
in dit
verband vooral aan Descartes als
grondlegger van deze krachtige methode om de meetkunde te bestuderen
door middel van de algebra: de algebraische meetkunde.
Als men punten op een rechte beschouwt als getallen, dan moet men een
meetkundige betekenis kunnen geven aan elementaire operaties tussen
getallen: de optelling en de vermenigvuldiging. De sleutel daarvoor
ligt bij het idee van de transformatie.
|
|
Bijvoorbeeld, 1 aftrekken van een getal x,
dus de transformatie x-1, is
meetkundig gezien een translatie:
alle punten schuiven 1 op naar links. Op dezelfde manier is de
vermenigvuldiging met 2 een dilatatie.
De vermenigvuldiging met -1, die elk punt x
naar -x stuurt, is een symmetrie
: elk punt wordt getransformeerd in zijn symmetrisch punt ten opzichte
van de oorsprong.. De vermenigvuldiging met -2 is op haar
beurt
een samenstelling van de twee vorige operaties. Twee getallen
vermenigvuldigen komt neer op het uitvoeren van de transformaties die
daarmee geassocieerd zijn. Zo is bijvoorbeeld de transformatie die
geassocieerd is aan de vermenigvuldiging met -1 een symmetrie, en als
men die operatie twee keer uitvoert komt men terug op het vertrekpunt.
Het product van -1 met zichzelf is +1.
Het kwadraat van -2 is +4, om dezelfde reden. Het
kwadraat van om het even welk getal is altijd positief. Een getal
waarvan het kwadraat gelijk is aan -1 bestaat niet.
Anders gezegd, -1 heeft geen vierkantswortel.
|
|
Klik
op het beeld voor een film. |
|
3. De vierkantswortel van -1
|
|
Dat het onmogelijk is om een vierkantswortel te
vinden
van -1 was lange tijd een dogma waarover men niet mocht
discussiëren. Maar tijdens de Renaissance waren er zekere
inventieve geesten die het taboe durfden doorbreken! Als
men √-1 durft schrijven, dan kan men ook getallen
noteren
zoals bijvoorbeeld 2+ 3 √-1 en kan men ook op een formele
manier
met die getallen spelen, zonder al te veel te proberen om de betekenis
te begrijpen. Deze pioniers hebben dan in zekere zin op experimentele
wijze vastgesteld dat die onmogelijke getallen geen aanleiding gaven
tot contradicties, en zo zijn die nieuwe getallen stilaan
aanvaard door de wiskundigen, zonder echte justificatie.
De geschiedenis van die nieuwe getallen is vrij
lang, en
het is niet onze bedoeling om alle tussenstappen te beschrijven die
geleid hebben tot een solide basis van de theorie. Men kan deze pagina
bekijken voor een stuk geschiedenis. Om het heel simpel te zeggen: in
het begin van de negentiende eeuw hebben een aantal wiskundigen,
waaronder Gauss, Wessel
et Argand,
het geometrisch karakter van die imaginaire getallen ingezien. De film
toont op een eenvoudige manier de redenering van Argand.
(Klik
op het beeld links voor het originele artikel van Argand (in het
Frans).)
|
|
|
Het getal -1 is geassocieerd aan de symmetrie ten
opzichte van de oorsprong, wat hetzelfde is als een rotatie van een
halve toer. Een vierkantswortel zoeken van -1 is hetzelfde als een
transformatie zoeken die een rotatie oplevert van een halve toer als ze
twee keer na mekaar wordt toegepast. Argand zegt dan dat de
vierkantswortel van -1 simpelweg moet geassocieerd worden aan een
rotatie van een kwart toer. Twee opeenvolgende rotaties van een kwart
toer geven
immers hetzelfde als een rotatie van een halve toer, dus
vermenigvuldigen met -1.
|
|
Vertrekkende van dat idee kan men zeggen dat de
vierkantswortel van -1 bekomen wordt door het getal 1 een kwart toer te
draaien. Maar het punt dat we verkrijgen door dat te doen ligt niet
meer op de rechte, en we hebben daarmee dus beslist dat de
vierkantswortel van -1 in het vlak ligt, en niet op de rechte!
Het is een eenvoudig en mooi idee: de punten in
het
vlak beschouwen als getallen. Het zijn dan natuurlijk niet meer
dezelfde getallen als diegene die we gewoon zijn. Om die reden zegt men
dat de "traditionele" getallen reële
getallen zijn, en dat de getallen die we hier aan het
definiëren zijn, dus geassocieerd met het vlak, complexe getallen.
Als wij een punt van het vlak bepalen door zijn
twee coordinaten (x,y), en dat
zijn reële getallen, dan is de rechte waar we mee begonnen
zijn de rechte y = 0,
en het punt dat het beeld is van (1,0) na een rotatie van een kwart
toer, is (0,1). Het is dus dit punt dat Argand beschouwt als de
vierkantswortel van -1. De wiskundigen, die versteld stonden van die
goocheltruc, noemen dit punt i,
afkorting van imaginair. Om getallen te krijgen die men kan optellen,
kan men in het algemeen het getal x + i y
beschouwen, en daarmee stemt het punt met coordinaten (x,y)
overeen.
|
|
Klik
op het beeld voor een film. |
|
Om
samen te vatten, Argand spoort ons aan om de punten (x,y) van het vlak niet te beschouwen
als twee (reële) getallen, maar eerder als
één (complex) getal. Dat lijkt
misschien verbazend, en wat kunstmatig, maar we zullen zien dat het een
zeer krachtig concept is.
4. Complexe rekenkunde
Het vervolg is niet moeilijk. Na al die
speculaties definieert men een complex getal z,
als het paar van getallen (x,y),
dus een punt in het vlak, en men noteert het als z
= x + i y.
Nu moet men nog aantonen dat men die complexe getallen kan optellen, ze
met elkaar vermenigvuldigen, en ook dat alle rekenregels waaraan we
gewoon zijn nog altijd geldig zijn. Zo moet men er zich bijvoorbeeld
van verzekeren dat de som van complexe getallen niet afhangt van de
volgorde waarin men ze optelt. Dat alles kan rigoureus behandeld
worden, maar dat is natuurlijk niet het doel van onze film...
Voor de optelling is het gemakkelijk: men heeft de
formule
(x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y') wat
betekent dat men complexe getallen kan optellen zoals men vectoren
optelt.
|
|
Voor de vermenigvuldiging is het iets moeilijker:
(x+i y).(x'+i y') =
xx' + i xy' + i yx'
+ i2 yy' = (xx'-yy') + i (xy'+x'y)
maar hier is het een klein mirakel dat deze
formule
voldoet! Het is bijvoorbeeld niet evident dat men telkens hetzelfde
resultaat bekomt als men drie getallen vermenigvuldigt in om
het
even welke volgorde, en evenmin is het evident dat men kan delen door
een getal niet gelijk aan nul. Dit klein mirakel wordt in de film niet
uitgelegd, het zou ons te ver leiden!
|
|
Klik op het beeld voor een
film. |
|
Hier zijn nog twee begrippen die nuttig zijn voor
het vervolg :
De module
van een complex getal z= x + i y
is eenvoudigweg de afstand van het punt (x,y)
tot de oorsprong. Men noteert het als |z|
en volgens de stelling van Pythagoras is het gelijk aan √
(x2+y2)
. Zo is bijvoorbeeld de module van i
gelijk aan 1 en die van 1+i is
√2.
Het argument
geeft de richting aan van z. Men
noteert het als Arg(z) en het is
niets anders dan de hoek tussen de abscis as en de lijn tussen de
oorsprong en (x,y). Dit argument
is enkel gedefiniëerd als z
niet gelijk is aan nul.
Het argument van i
bijvoorbeeld is 90 graden, dat van 1 is nul, dat van -1 is 180 graden,
en dat van 1+i is 45
graden.
De wiskundigen hebben lang geprobeerd om hetzelfde
te
doen in de ruimte van dimensie 3: ze zochten een manier om punten in de
ruimte met mekaar te vermenigvuldigen. Ze hebben er lang over gedaan
voor het duidelijk werd dat dit onmogelijk is. Ze hebben wel ontdekt
dat het in de ruimte van dimensie 4 gedeeltelijk mogelijk is, maar dan
is ab=ba
niet meer waar! In de ruimte van dimensie 8 is het ook mogelijk, maar
dan is (ab)c=a(bc)
niet meer geldig! In het begin van de twintigste eeuw heeft men
begrepen dat men in geen enkele ruimte, buiten die van dimensie 1, 2, 4
en 8, punten kan vermenigvuldigen. Om meer te begrijpen over deze
mysterieuze beweringen kan men deze pagina, deze
pagina of deze
consulteren.
Samengevat,
punten in het vlak worden beschreven door één
enkel getal..een complex getal.
Het vlak waarvan we altijd gezegd hebben dat het dimensie 2 heeft,
heeft nu dimensie 1! Dit is natuurlijk geen contradictie: het vlak
heeft dimensie 2, maar dimensie twee reëel,
maar het vlak is ook een rechte van dimensie 1, maar dimensie 1 complex.
Reëel vlak, complexe rechte..reële dimensie 2,
complexe dimensie 1...en spel van woorden?
5. ... nogmaals de stereografische projectie
!
|
|
Herinner U de stereografische projectie: ze
transformeert de sfeer van dimensie 2, zonder de noordpool, in het vlak
dat raakt aan de zuidpool. Als een punt alsmaar dichter bij de
noordpool komt zal zijn projectie zich verder en verder van de
oorsprong verwijderen, en naar oneindig gaan. Men zegt soms dat de
projectie van de noordpool het punt op oneindig is.
Als we nu aan het raakvlak aan de zuidpool denken
als
een complexe rechte, dan begrijpt men waarom de sfeer van
(reële!) dimensie 2 dikwijls een complexe
projectieve rechte
genoemd wordt.. Een mooi voorbeeld van wiskundige gymnastiek: een sfeer
een rechte noemen!
Heeft Henri Poincaré niet gezegd dat
men in de wiskunde dezelfde naam geeft aan verschillende dingen?
|
|
|
6. Transformaties
( Zie in de
film: Hoofdstuk 6 : Complexe getallen, vervolg)
Dit hoofdstuk probeert de kijker wat gevoel te
doen
krijgen voor complexe getallen door bepaalde transformaties van de
"complexe rechte".
Een transformatie T
is een operatie die aan elk complex getal z,
dus elk punt van het vlak, een ander punt T(z)
associeert. Om dit te illustreren neemt men het portret van Adrien
Douady, en toont dan het beeld dat bekomen wordt door de transformatie:
elke pixel in het portret wordt getransformeerd door T.
Adrien kiest meerdere voorbeelden uit van de
transformatie T
:
T(z) = z/2
Elk getal wordt gedeeld door 2. Het portret wordt natuurlijk twee keer
kleiner: men zoomt uit.
Men noemt dit een homothetie.
|
|
T(z) = iz
Hier gaat het over een rotatie van een kwart toer (zie de definitie van
i).
|
|
T(z) = (1+i)z
Aangezien de module van 1+i gelijk is aan √2 en het
argument 45 graden is, moet men de combinatie maken van een
rotatie van 45 graden en een homothetie met een factor √2.
Men
noemt dit een gelijkvormigheid.
Met complexe getallen kan men dus dergelijke gelijkvormigheden
eenvoudigweg schrijven als een vermenigvuldiging, wat een groot
voordeel is.
|
|
T(z) = z2
Hier is onze eerste niet-lineaire transformatie. Door de foto op twee
verschillende plaatsen te zetten ziet men hoe de kwadratering in het
complexe vlak in zijn werk gaat: de module wordt gekwadrateerd en het
argument wordt verdubbeld.
|
|
T(z) = -1/z
Deze transformatie is nauw verwant met wat men gewoonlijk een inversie
noemt. De oorsprong, die overeenstemt met het getal 0, kan natuurlijk
niet getransformeerd worden, maar men komt overeen om te zeggen dat de
oorsprong naar oneindig gestuurd wordt. De reden hiervoor is eenvoudig:
als een complex getal z
de oorsprong nadert, en zijn module dus naar 0 gaat, dan zal de module
van het getransformeerde punt -1/z
een module hebben die de inverse is van die van z,
en dus naar oneindig gaan. Deze transformatie heeft dus de eigenschap
om zones dicht bij de oorsprong te doen "exploderen": ze worden ver weg
buiten het scherm gestuurd...Anderzijds worden punten die zich ver weg
bevinden samengedrukt in een zone dicht bij de oorsprong.
|
|
Klik op het beeld voor een
film. |
|
|
In schoolboeken heeft men lange tijd veel aandacht
besteed aan de inversie. Men kan daarmee mooie stellingen bewijzen. De
belangrijkste eigenschap van een inversie is dat ze cirkels omzet in
cirkels (of rechten). Dit type transformaties wordt soms door
kunstenaars gebruikt, en heet dan anamorfose.
|
|
Meer algemeen, als men vier complexe getallen a,b,c,d
kiest, kan men de volgende transformatie bekijken:
T(z) = (az+b)/(cz+d).
Dit type transformaties heeft in de wiskunde
meerdere
namen: Moebius transformaties, homografieën, projectieve
transformaties. De belangrijkste eigenschap is dat cirkels worden
getransformeerd in cirkels of rechten. Deze groep van transformaties
behoort tot een prachtige meetkunde, die men 'cirkelvormig' noemt, en
die
dicht staat bij de niet-Euclidische meetkunde, maar dat is een ander
verhaal!
|
|
T(z) = z+k/z
Deze transformatie werd bestudeerd door Joukovski tijdens zijn studies
over de
aerodynamica van vliegtuigvleugels
! Adrien Douady had misschien beter een ander type
transformatie
uitgekozen, eentje dat beter is voor zijn lijn! Het doel van deze
illustratie is een fundamentele eigenschap van dit type transformaties
te tonen.
Cirkels worden niet meer in cirkels getransformeerd, dat doen enkel de
Moebius transformaties, maar dat gebeurt nu nog wel op infinitesimale
schaal. Als men een kleine cirkel neemt, en mijn kijkt naar de curve
die men krijgt als men die kleine cirkel transformeert, dan is dat geen
echte cirkel, maar wijkt er niet ver van af, en des te minder
naarmate de originele cirkel kleiner is. Een andere manier om dat uit
te drukken is dat de transformaties in kwestie zich gedragen als
gelijkvormigheden op infinitesimale schaal. Men noemt deze
transformaties holomorf
of conform.
In het Grieks en Latijn betekenen "holo" en "con" "hetzelfde", en
"morf" betekent "vorm": de transformaties behouden de vorm. De studie
van holomorfe functies is een van de
belangrijkste hoofdstukken in de wiskunde.
|
|
|
|
6. Holomorfe dynamiek
In het tweede deel van hoofdstuk 6 brengt Adrien
Douady
een inleiding tot een prachtig onderwerp waarin hij grote bijdragen
geleverd heeft.
Het gaat over de Julia
verzamelingen, die naast hun fundamenteel wiskundig belang ook een
buitengewone schoonheid hebben. ( en die twee zijn natuurlijk gelinkt!)
Het komt niet dikwijls voor dat een wiskundige theorie op zulk een
mooie wijze kan geïllustreerd worden, en vele
kunstenaars hebben zich door deze beelden laten inspireren.
|
|
|
Het vertrekpunt is zeer eenvoudig: men
kiest een willekeurig complex getal c.
Dan neemt men de transformatie Tc(z)
= z2
+ c. Dit betekent dus dat men een getal
kwadrateert, en er c
bij optelt. Als we vertrekken van een initieel punt z, dan
wordt dit punt getransformeerd naar een punt z1=
Tc(z), dan
transformeert men opnieuw en men krijgt het punt z2=
Tc(z1)
en men doet zo verder tot in het oneindige. Zo produceert men een reeks
getallen zn
die elk het getransformeerde punt van het vorige punt zijn. Men zegt
dat de reeks zn
de baan is
van het initieel punt z door de
transformatie Tc.
Bestuderen hoe die reeks zn
zich gedraagt is de dynamiek
begrijpen van Tc
.Hoewel dit een eenvoudig voorbeeld is,
is het toch rijk genoeg om aanleiding te geven tot zeer mooie wiskunde.
|
|
|
We bekijken eerst het geval c
=
0. Dit betekent dat we de transformatie Tc(z)=z2
herhaaldelijk toepassen.
De module van elke zn
is dus het kwadraat van de vorige. Als de module van z
kleiner is dan 1, dus als z
binnen een cirkel ligt met straal 1 en middenpunt op de oorsprong, dan
gaan alle zn
binnen deze cirkel blijven. Als daarentegen de module van z
groter is dan 1, dan zullen de modules van zn
steeds groter worden, en naar oneinig gaan: de baan van z zal
buiten het scherm gaan !
In het eerste geval zegt men dat de baan stabiel
is: ze blijft in een welbepaalde zone van het vlak. in het tweede geval
is ze instabiel: ze vlucht naar oneindig. De verzameling van punten z
waarvoor de baan stabiel, voor c
=
0 is is dus de schijf met straal 1.
|
|
Meer algemeen kan men voor elke waarde van c
twee soorten van punten z
vinden. De baan van z onder
invloed van de transformatie Tc
kan instabiel zijn of stabiel, en ze blijft dan in een beperkt deel van
het vlak. De verzameling van punten z
waarvan de baan stabiel is noemt men de gevulde Julia verzameling van
de transformatie Tc.
Het begrijpen van de structuur van die Julia verzamelingen, en de
manier waarop ze veranderen als c
verandert is de grootste inzet van de theorie van de dynamische holomorfe systemen. Adrien Douady
toont ons eerst enkele voorbeelden van Julia verzamelingen voor
verschillende waarden van c.
Sommige daarvan hebben exotische namen, zoals bijvoorbeeld 'het konijn'
(ziet U de oren
?) voor c= -0.12+0.77i.
|
|
Klik op het beeld voor een
film. |
|
|
Men weet sinds het begin van de twintigste eeuw
dat de
Julia verzameling van twee types kan zijn. Het eerste type is zoals in
de voorbeelden hierboven beschreven: het is "uit
één stuk", of samenhangend.
Het
tweede type is volledig
discontinu,
en bestaat uit een oneindig aantal losse stukjes, wat wil zeggen dat
men ze op een tekening niet ziet! Bijgevolg zijn er waarden van c
waarvoor men de verzameling van Julia ziet, en andere waarvoor men ze
niet ziet (hoewel ze wel bestaat). De verzameling van waarden van c
waarvoor men de verzameling van Julia goed ziet noemt men de verzameling van Mandelbrot, ter
ere van Benoît
Mandelbrot,
die deze verzameling uitgevonden heeft. Adrien Douady heeft deze
verzameling uitvoerig bestudeerd, en heeft er bijvoorbeeld toe
bijgedragen om aan te tonen dat ook deze verzameling samenhangend is,
en hij zou er graag in geslaagd zijn (zoals vele anderen) om aan te
tonen dat ze ook lokaal
samenhangend is.
|
|
Op het einde van het hoofdstuk zien we een duik in
de
Mandelbrotverzameling: een zeer diepe duik want de zoom factor is van
orde van grootte tweehonderd miljard! Deze scène kan men op
twee
manieren bekijken. Men kan enkel kijken en bewonderen, daar is het mooi
genoeg voor. Langs de andere kant kan men zich ook enkele vragen
stellen...
Wat is bijvoorbeeld de betekenis van de
verschillende
kleuren? Er is een oude stelling die zegt dat de Julia verzameling van Tc niet
samenhangend is, enkel en alleen als de baan van 0 van Tc instabiel
is. Voor een gegeven waarde van c
kan men dus de baan nemen van z=0
door Tc
en kijken hoe die zich gedraagt voor grote waarden van n. Als zn
snel zeer groot wordt, dan wil dat zeggen dat c
niet tot de verzameling van Mandelbrot behoort, en er zelfs relatief
ver vanaf ligt. Als de reeks zn
naar oneindig gaat, maar trager, dan ligt het punt c
nog altijd niet in de Mandelbrotverzameling, maar ligt er toch
dichterbij. De kleur die men neemt voor het punt c
hangt af van de snelheid waarmee de baan zn
naar oneindig gaat,
en toont zo dus de "nabijheid" ten opzichte van de
Mandelbrotverzameling.
Als daarentegen zn
in een gelimiteerde zone blijft, dan is c
binnen de
verzameling van Mandelbrot en dan kleurt men het punt zwart..
|
|
Klik
op het beeld voor een film. |
|
De Mandelbrotverzameling in de figuur hierboven
werd
ingekleurd met deze methode, maar er bestaan nog tientallen andere
methoden. In de film werd de methode "Driehoeksongelijkheid" gebruikt:
als de module van zn
een bepaalde waarde overschrijdt, dan berekent men de modules A=|zn-zn-2|,
B=|zn-zn-1|
et C=|zn-1-zn-2|.
A/(B+C) geeft altijd
een resultaat tussen 0 en 1, en dat gebruikt men om de positie aan te
duiden op een kleurenpalet.
Waarom ziet men nu en dan nieuwe kleine
copieën van
de Mandelbrot verzameling opduiken? Dat is veel moeilijker uit te
leggen, en het is een van de belangrijke ontdekkingen van Adrien
Douady: de Mandelbrotverzameling heeft zelfgelijkvormige
eigenschappen, iets dat men dikwijls tegenkomt bij fractale
verzamelingen. Om dat beter te begrijpen, kijk bijvoorbeeld hier
(in het Engels).
|
|
|