第五、六章：複數

數學家Adrien Douady講解複數。以簡單的術語解釋負數的平方根。變換平面、圖片形變、創造碎形圖形。

一、陳述者

複數是 數學最美麗的篇章之一，它們也已成為數學中核心的工具。然而瞭解它們的過程並不容易，專業術語是原因之一；它們被稱作「不可能的」和「虛幻的」數字， 「複」這個字留給人們的印象是它們並不好理解。慶幸的是這在今天不是問題：我們可以以一種相對初等的方式展示它們。

Adrien Douady講述這些章節。他是一個傑出的數學家，對 複數領域做出了許多貢獻，他喜歡說他所有的研究都是關於複數。特別地，他是復興了複動力系統的那群數學家中的一個，我們將在稍後再談。

他的理論的特徵之一是產生了許多美麗的碎形圖形，如今由於電腦才能被畫出來。Adrien Douady強烈支持促進這種圖形的發展，這既有益於數學家的研究也有助普及宣傳數學。

全靠Douady我們才有了動畫「The dynamics of the rabbit」(兔子的動力學)（他喜歡給數學對象一些驚奇的名子：兔子、飛機、卡通動物「shadok」等等。）他最近的去世令數學界十分悲傷，可以在 這個網站 或 這個網站（法文） 瞭解他的人格。

很顯然，即使是Adrien Douady也不能在兩個13分鐘的章節內講解完複數的全部理論……這些章節不是用來替代一門大學水平的課 程，一本書或一份詳盡的講述（例如參見 這個網站 或 這個）。應該把這些章節認為是補充，作為例子激發進一步學習的興趣或讓您回憶起以 前學過的課程。影片主要還是要清晰地展示複數那幾何的一面。

二、數與變換

我們已經知道直線是一維的，我們可以把數放在直線上——正數放在原 點右邊負數放在原點左邊。點是幾何對象，數是代數對象。把點和數看作相對應的，也就是混合代數與幾何——這是數 學中最富有創造力的想法之一。把這種想法歸功於一個人總是不太容易，但是總體上我們可以把利用代數研究幾何這種有力的方法歸功於 Descartes：這是 代數幾何 的誕生。如果直線上的點是數，那麽我們就可以幾何地理解數的初等運算的意義：加法與减法。理解這個思想的關鍵是在於變換這個概念。

比如從一個數 x 中减一，即是變換 x-1，可以看做是幾何上的移動：所有的點都向左移一。同樣地，乘以二 可以被看成是擴張。

乘以-1，把 x 變成 -x，可以看作是一個對稱—— 每一點變為其關於原點對稱的那一點。乘以-2是前面兩個操作的組合。兩個數相乘可以化為兩個相關變換的複合。比如，乘以-1所對應的變換是一個對稱，當我 們先後兩次進行這個操作時，我們回到最初的那一點，就如同-1乘以自身得+1。-1的平方是+1。

由同樣的道理可知，-2的平方是+4。根據這可知任何數的平方都是正數。没有數的平方是-1。

換句話來說，-1 没有平方根。

三、-1的平方根

很長一段時間，人們認為-1没有平方根是一個不可動搖的信條。文藝復興時期，有創造性的精神敢去打破禁忌！如 果我們敢去寫√-1，那麽我們也可以寫像2+ 3√-1 這樣的數，像平常一樣操作使用它們並不用去理解它們的含義。那些開拓者是以一種實驗的姿態首先勇敢地運用這些不可能的數進行計算。由於他們的計算並不導致 矛盾出現，這些數逐漸被數學家們接受，即使没有真正正當的理由。

這些數的故事十分長，我們不打算描述它堅實基礎建立的過程。可以從 這個頁面 得知些歷史。簡而言之，在十九世紀，一些數學家包括 Gauss、Wessel 和 Argand，明白了這些數的幾何含義。 影片裡簡單展示了Argand的一個描述方法。

（可按右 圖參見Argand的原文。）

-1與關於原點的中心對稱有聯繫，也就是關於原點繞半周。尋找-1的平方根也就是尋找這樣一個變換，我們操作 它兩次，才旋轉半周。Argand說明-1的平方根必須對應一個四 分之一周的旋轉變換，相當簡單。進行兩次四分之一旋轉得到半周旋轉，也就是乘以-1。

由這個觀念我們會想說從1開始旋轉四分之一圈就得到-1的平方根。當然從1旋轉四分之一圈不在直線上，而我們 讓它出現在了平面上！

這個想法很簡單卻很優美：把平面上的點看作是數，當然不是我們原先所指的數。由於這一點我們把「傳統」的數稱 作實數，我們剛定義的數， 與平面上的點相對應，稱作複數。

如果我們用座標 (x,y) 表示平面上的數，x、y 是實數，我們剛離開的那條直線的方程是 y = 0。(1,0) 點旋轉四分之一週後是 (0,1)。這就是Argand認為是-1的平方根的那一點。還被這「花招」震住的數學家們把這數叫做 i， 即「imaginary」。我們希望能相加這些數，我們可以考慮 x + i y： 對應坐標 (x,y)。

總結一 下，Argand建議我們把平面上的點 (x,y) 當作一個（複）數來考慮，而 不是一對（實）數。這也許非常令人驚訝，或者讓人覺得矯揉造作。但我們將看到這觀念很有作用。

四、複數代數

下面的内容並不難。有了這些假定之後，我們用兩個實數定義一個複數，也即平面上的一點，用 z= x + i y 表示它。我們要展示如何把兩個複數相加，相乘，我們以前使用的運算性質這裡仍然適用。比如，我們可以檢查兩個複數的和與它們相加的順序無關。這都可以嚴格 證明，但不是影片的重點……這裡 介紹了複數理論。

對於複數的加法很容易：我們有公式 (x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y')，所以複數的加法歸結為對應向量的相加。

對於乘法，有些困難：

但是這公式裡有驚奇之處。比如，從這公式中我們不能直接看出三個複數相乘的結果與運算順序無關且我們可以用非 零複數去除複數。這點驚奇没有在影片裡被解釋……否則我們要花費更多來說明了！

以下兩點十分重要：

複數 z= x +i y 的模就是 (x,y) 到原點的距離，用 |z| 來表示。由勾股定理知這等於 √(x²+y²)。 比如 i 的模是1，1+i 的模是√ 2。

我們用 Arg(z) 表示 z 方向的輻角，即 x 軸與連結原點與 (x,y) 的直線間的夾角。輻角只有在 z 不等於零時才有定義。比如 i 的輻角是90度、1的輻角是0、-1的輻角是180度、1+i 的輻角是45度。

很長一段時間數學家們都想把這推廣到三維空間：空間的點如何相乘？花了很久人們才明白這是不可能的。在四維空 間，他們又發現這部分可行，只要放棄乘法 ab=ba 這條性質！只要抛棄 (ab)c=a(bc) 這條性質，直到八維都是可行的。到二十世紀中葉，人們知道除了1、2、4、8維空間，没有可以相乘的點！了解一些關於這神秘的命題，參見 這裡、這 裡 或 這裡。

總而言 之，平面上的每一點的都被定義成「一個」複數。二維平面變成了一維！這裡没有矛盾：平面有兩個「實」維度，但這是一條一維的 「複」直線。實平面，複直線……兩個實維度，一個複維度。文字遊戲？

五、又見面了：球極投影！

回憶一下球極投影：它把除去北極點的二維球面變換到與南極點相切的平面上。隨著點接近北極，它的投影在平面上 越來越遠，所以我們說它趨於無窮。

現在，如果我們把與南極點相切的平面想像成複線，那麽我們就能明白為什麽我們經常把二維球面（兩個實維度！） 描述成複投影線！這就是一 個美妙數學技巧的例子：把球面稱作線！

Henri Poincaré不就說了數學就是給不同的事物同樣的名字嗎？

六、變換

（觀看影片：第六章：複數，續）

這章旨在通過複線的變換給人們些對複數直觀上的感覺。

一個變換 T 是一個操作把對於每一個平面内的點，也即複數 z 與另一點 T(z) 聯繫起來。為了展示變換，我們把Adrien Douady的照片放在平面上，顯示它經過變換後的樣子：相片上的每個像素都是經過 T 變換得到的。

Adrien舉了一些變換 T 的例子：

T(z) = z/2
每一個數都除以2，圖片被因子2縮小了：一個反向變焦(reverse zoom)！我們把這稱作位似。

T(z) = iz
由 i 的定義可知，這即旋轉四分之一圓周。

T(z) = (1+i)z
1＋i 的模是√2，它的輻角是45度。這是由旋轉45度和√2因子位似複合的變換。這叫做相似。這是複數的一大優勢：它容許我們把簡 單相似描述成乘法。

T(z) = z²
這是我們的第一個非線性變換。通過把相片放在不同點，我們就會了解在複平面上應用平方的效果：模被平方輻角被加倍。

T(z) = -1/z
這個變換的作用與俗稱的反演(inversion)相 似。與0相對應的原點不能被變換。但是我們約定原點被變換到無窮點。原因很簡單：如果一個複數 z 接近0，即模趨於0，被變換後的數 -1/z 的模——z的模的倒數，將趨於 無窮大。這個變換有「爆破」的性質，把靠近原點的領域内的點移至很遠處，越過螢幕的邊界……相反地，離原點 很遠的點被「壓」至原點附近。

長久以來，學術書籍中都很重視反演，因為它協助我們證明相當漂亮的定理。反轉最主要的性質是把圓變換成圓或直 線。藝術家利用這種類型的變換，而把它稱作 失 真(anamorphosis)。

更普遍地，如果我們選取四個複數 a、b、c、d， 考慮變換

這些變換在數學中有好幾個名字——Moebius變換，射影變換， 單應變換(homographies)——但是它們首要的性質是把圓變換成圓或直線。這是一種美麗的幾何 ——共形幾何的一個變換群。這種幾何和非歐幾何相 似，這已是另一個主題了！

T(z) = z+k/z
Joukowsky 研究過這個變換，是在他研究機翼的空氣動力學(the aerodynamics of airfoils)的過程中！但是 Adrien Douady本可以選一些其他變換，特別是讓他的身材比這個要瘦一點的！這個圖示的意義在於它展示了這種類型變換的基本性質。當然它不再保圓（只有 Moebius變換保圓），但是在無窮小的範圍内它還是保圓的。這些變換叫做全 纯的(holomorphic)或共 形的(conformal)。希臘語與拉丁語詞根「holo」與「con」意思是「一樣(same)」，「morph」意思是 「形狀(form)」：換句話來說，這些變換保持形狀。全純函數(holomorphic functions) 的研究在數學中佔很重要的地位。

六、全純動力學

在第六章的第二部分，Adrien Douady介紹了一個重要分支，他也是這個分支的貢獻者之一。是關於 Julia 集的研究，這不僅是基於數學上的興趣，更是由於它出奇地美麗（當然這兩點也有關聯）。很少見一個強大的數學理論能以如此美麗的形式展示出來。許 多藝術家 被這些圖像激發靈感。

開頭的想法很簡單：我們隨意取一個複數 c。 考慮變換 T_c(z) = z²+ c。它先平方複數 z 然後平移 c。在起始點 z， 變換的結果是 z₁= T_c(z)。我們進而可以考慮它的變換結果 z₂=T_c(z₁)， 我們一直這樣無窮下去，產生複數序列 z_n， 每個數都由前一個數變換得到。我們說在變換 T_c 下，序列 z_n 處於起始點 z 的軌道(orbit)中。研究序列 z_n 的性質，就是要了解 T_c 的動力學(dynamics)。 下面一個簡單的例子，足以體現數學之美。

首先考慮 c=0 的情况。這時變換實際就是重複 T_c(z)=z²。 每個複數 z_n 的模都是前一個的平方。如果 z 的模小於等於1，即 z 處於以原點為中心半徑為1的圓内，那麽所有的 z_n 都將處於圓内。另一方面，如果複數 z 模大於1那麽 z_n 的模會一直增長趨於無窮。z 的軌道最終將超越螢幕！

在第一種情况下，我們說軌道是穩 定的(stable)，它始終處於平面一塊有界區域内。第二種情况下它是不穩定的(unstable)，它趨於無 窮。因此使軌道穩定的點 z 的集合是圓。

更普遍地，對於 c 的每一個值，我們也能得到點 z 兩種軌道。變換 T_c 下 z 的軌道是穩定的，如果它始終處於平面一塊有界區域内，否則就是不穩定的。使軌道穩定的 z 的點集稱作變換 T_c 的填充Julia集(filled-in Julia set)。了解這些Julia集的結構以及它們如何隨 c 變化而變化是解析動力系統(holomorphic dynamical systems)理論的一個重要目的。首先，Adrien Douady給我們展示一些在不同的 c 下Julia集的例子。它們中的一些有奇特的名字，比如「兔子」（你看見它的耳朵了嗎？）是在 c= -0.12+0.77i 情况下得到的。

從二十世紀初起人們就知道Julia集分為兩種。它可以像我們展示的例子裡一樣，是單獨一塊部分& amp; amp; amp; amp; amp; amp; mdash;—用數學家的話來說就是連 通的(connected)——或者它完 全不連通，由無窮多個獨立的碎片組成，每 個的内部都是空集，我們在圖像上看不到它！能使我們看見Julia集（Julia集連通）的點 c 的集合稱作 Mandelbrot集，為了紀念 Benoît Mandelbrot。為了瞭解這集合Adrien Douady做了很多工作；他在證實集合是連通的這方面做出了貢獻，他也會很樂意展示給我們集合是局部連通的… …

這章的末尾重在「潛入」Mandelbrot集，「潛」得如此之深以至於放大倍數達到了兩千億的數量級！我們 可以以兩種方式觀察這景象。我們可以僅僅欣賞它：它足夠美了！或者我們可以問自己一些問題……

比如，顏色的意義是什麽？一個古老的定理告訴我們Julia集不是連通的（或者說 c 不在Mandelbrot集中）當且僅當在變換 T_c 下0的軌道是不穩定的。對於給定的 c 值我們觀察 T_c 下 z=0 的軌道及其在 n 取值很大時的行為。如果 z_n 非常迅速地變大，就意味著 c 不在Mandelbrot集中，甚至遠離它。如果序列 z_n 趨於無窮大，但是更緩慢些，那麽 c 仍然不在Mandelbrot集中，只是稍微靠近它。c 的顏色取決於序列 z_n 趨於無窮的速度，也體現了它離Mandelbrot集的「距離」。另一方面如果 z_n 處於一塊有界區域中，那麽 c 在Mandelbrot集中，它的顏色也就是黑色。

圖中的Mandelbrot集就是以這種方式著色的，但是也有其它著色方法。影片中，我們用「三角不等式」： z_n 的模增大超過一確定值時，計算模 A=|z_n-z_n-2|, B=|z_n-z_n-1| 和 C=|z_n-1-z_n-2|。
A/(B+C) 是一個取值總在0和1之間的量，我們用這個數確定一個調色盤上的位置。

為什麽有時我們會看到Mandelbrot集的小的複製個體？解釋這個很困難，這也是Adrien Douady的重要發現之一：Mandelbrot集有自 相似性，碎形集合的一個常見性質。要想對此了解更多，參見 這 個頁面。