Capítulos 5 y 6: Números Complejos

El matemático Adrien Douady explica los números complejos. La raíz cuadrada de números negativos se explica de manera sencilla. Transformando el plano, deformando fotografías, creando imágenes fractales.

1. El presentador

Los números complejos constituyen uno de los capítulos más bellos de las matemáticas, y se han convertido en una herramienta esencial en las ciencias. El camino hasta su descubrimiento no fue fácil, y su terminología se debe en parte a esto; se les ha denominado números "imposibles" e "imaginarios", y la palabra "complejo" da la impresión de que no son algo sencillo de entender. Afortunadamente, esa no es la situación actual: podemos introducirlos de manera relativamente elemental.

Adrien Douady presenta estos capítulos. Un matemático excepcional, hizo una gran cantidad de contribuciones a este campo, y le gustaba decir que toda su investigación estaba centrada en los números complejos. En particular, fue miembro de un grupo de matemáticos que reinstauraron la teoría de los sistemas dinámicos complejos, de la cuál hablaremos más adelante.

Una de las características de esta teoría es que da lugar a muchas hermosas imágenes fractales, que podemos dibujar hoy día con la ayuda de ordenadores. Adrien Douady fue un gran promotor de este tipo de imágenes, con vistas tanto a ayudar a los matemáticos en su investigación como a popularizar las matemáticas.

También le debemos a Douady una animación matemática titulada La dinámica del conejo (le gustaba dar nombres sorprendentes a objetos matemáticos: el conejo, el aeroplano, el personaje de dibujos shadok, etc.) Su reciente fallecimiento entristeció profundamente a la comunidad matemática. Para algunos detalles sobre su personalidad, véase esta página o esta otra (en francés).

Está claro que ni siquiera Adrien Douady es capaz de explicar la teoría de los números complejos al completo en dos capítulos de 13 minutos... Estos capítulos no están pensados como un substituto para un curso universitario, un libro, o una explicación detallada (ver por ejemplo esta página o esta otra). Uno debería considerar estos capítulos como complementos, como ilustraciones que fomenten un aprendizaje más profundo, o como recordatorios de lecciones que se olvidaron hace mucho tiempo. Ciertamente, los vídeos tratan sobre todo de mostrar el aspecto geométrico de los números complejos.

2. Números y transformaciones

Hemos visto que la línea es unidimensional, ya que podemos colocar los números en una línea -- los positivos a la derecha del origen, los negativos a la izquierda. Los puntos son objetos geométricos, mientras que los números son objetos algebraicos. La idea de pensar en los números como puntos y en los puntos como números, es decir, de mezclar el álgebra y la geometría, es una de las ideas más fértiles en matemáticas. Como siempre, no es fácil atribuir esta idea a una sola persona, aunque generalmente se piensa en Descartes como la persona a la que atribuír este potente método de estudiar geometría usando álgebra: este fue el nacimiento de la geometría algebraica. Si los puntos de una línea son números, podemos entender geométricamente el significado de las operaciones elementales entre los números: suma y multiplicación. La clave para entender esto es la idea de transformación.

Por ejemplo, restar 1 de un número x, es decir, la transformación x-1, puede verse de manera geométrica como una translación: todos los puntos se trasladan una distancia igual a 1 hacia la izquierda. De la misma manera, la multiplicación por 2 puede pensarse como una dilatación.

La multiplicación por -1, que manda cada punto x en el punto -x, puede pensarse como una  simetría -- cada punto se transforma en su simétrico con respecto del origen. La multiplicación por -2 se obtiene como composición de las dos operaciones anteriores. La multiplicación de dos números se reduce a la composición de las transformaciones asociadas a cada uno de ellos. Por ejemplo, la transformación asociada con la multiplicación por -1 es una simetría, y cuando aplicamos esta operación dos veces seguidas, volvemos al punto de partida, de igual manera que el producto de -1 por sí mismo es igual a 1, es decir, el cuadrado de -1 es +1.

El cuadrado de -2 es +4 por la misma razón. De todo esto se sigue que el cuadrado de cualquier número es siempre positivo. No existe ningún número cuyo cuadrado valga -1.

En otras palabras, -1 no tiene una raíz cuadrada.

3. La raíz cuadrada de -1

Durante mucho tiempo, la imposibilidad de encontrar la raíz cuadrada de -1 se consideraba un dogma que no admitía discusión. Durante el Renacimiento, ciertos individuos con espíritu de innovación ¡se atrevieron a romper el tabú! Si nos atrevemos a escribir √-1, entonces también podríamos escribir números como, por ejemplo, 2+ 3√-1, y podemos jugar con estos números de la misma manera formal sin preocuparnos de intentar entender su significado. Estos pioneros trabajaron audazmente en la manera de hacer cálculos con estos números imposibles, de manera prácticamente experimental. Dado que sus cálculos no parecían dar lugar a ninguna contradicción, estos números fueron gradualmente siendo aceptados por los matemáticos, sin ninguna justificación real.

La historia de estos números es bastante larga, y no es nuestra intención describir los pasos que llevaron a su cimentación rigurosa. Uno puede consultar, por ejemplo, esta página para un poco de historia. Basta decir, por simplificar hasta el extremo, que a principios del siglo XIX varios matemáticos, entre los que se incluyen Gauss, Wessel y Argand, fueron conscientes del carácter geométrico de estos números imaginarios. La película muestra una presentación simplificada de una idea muy simple debida a Argand.

(Pulsa en la imagen de la derecha para ver el artículo original de Argand. )

El número -1 se asocia a la simetría de reflexión con respecto del origen, o lo que es lo mismo, una rotación equivalente a la mitad de un giro completo. Encontrar una raíz cuadrada de -1 es equivalente a encontrar una transformación que, cuando efectuemos dos veces seguidas, nos dé lugar al medio giro. Argand sugirió que la raíz cuadrada de -1 debía sencillamente asociarse a la rotación de un cuarto de vuelta completa. Al efectuar dos rotaciones de un cuarto de vuelta obtenemos una rotación de una vuelta completa, o lo que es lo mismo, la multiplicación por -1.

Si seguimos esta idea, nos gustaría poder decir que la raíz cuadrada de -1 se obtiene empezando en el 1 y efectuando un cuarto de vuelta. Por supuesto, la imagen del 1 al girar un cuarto de vuelta no se encuentra en la línea, por lo que acabamos de decidir que la raíz cuadrada de -1 no es un punto de la línea, sino ¡un punto del plano!

La idea es sencilla y hermosa: pensar en los puntos del plano como si fuesen números. Por supuesto, estos no pueden ser los mismos números a los que estábamos acostumbrados. Por esta razón nos referimos a los números "tradicionales" como los números reales, y a los números que acabamos de definir, asociados a puntos del plano, como los números complejos.

Si expresamos un número en el plano mediante sus dos coordenadas (x,y), que son números reales, la línea que acabamos de dejar es la línea cuya ecuación es y = 0, y el punto que se obtiene como imagen del (1,0) por un cuarto de vuelta es el (0,1). Este es por tanto el punto que Argand consideró como la raíz cuadrada de -1. Los matemáticos, todavía asombrados por este "truco de prestidigitador", llamaron a este nuevo número i, como en "imaginario''. Puesto que nos gustaría ser capaces de sumar este tipo de números, debemos considerar números de la forma x + i y : esto se corresponde con el número con coordenadas (x,y).

Resumiendo, Argand nos instó a considerar los puntos (x,y) del plano no como parejas de números (reales), sino como un único número complejo. Esto puede parecer muy sorprendente, y quizás artificial, pero veremos en seguida que esta idea es muy potente.

4. Aritmética Compleja

Lo que viene a continuación no es difícil. Después de todas estas especulaciones, hemos definido un número complejo como algo dado por dos números reales, lo que es lo mismo que decir un punto del plano, y que denotamos por z = x + i y. Ahora vamos a mostrar cómo sumar dos números complejos, como multiplicarlos, y que todas las propiedades de la aritmética a las que estamos acostumbrados siguen siendo válidas. Por ejemplo, tenemos que comprobar que el resultado de sumar dos números complejos es el mismo sin importar el orden en que se sumen. Todo esto puede hacerse de manera rigurosa, pero ciertamente ése no es el objetivo de esta película...  Aquí hay una introducción a la teoría de los números complejos.

Para la suma, esto es muy sencillo: tenemos la fórmula (x+i y) + (x'+i y') = (x+x')+ i (y +y'), de manera que la suma de números complejos se reduce a la suma de los vectores correspondientes en el plano.

Para la multiplicación, es un poco más complicado:

aquí es un pequeño milagro que esta fórmula funcione. Por ejemplo, no es nada claro a partir de la fórmula que el podamos multiplicar tres números complejos en cualquier orden y obtener siempre el mismo resultado, o incluso que siempre podamos dividir por un número complejo distinto de cero. Esta pequeña maravilla no se explica en el vídeo... ¡Nos habría llevado demasiado tiempo!

Hay dos nociones que son útiles en lo que sigue:

El módulo de un número complejo z= x +i y es simplemente la distancia del punto correspondiente (x,y) hasta el origen. Denotamos esto por  |z|, y, por el Teorema de Pitágoras, es igual a √(x²+y²) . Por ejemplo, el módulo de i es igual a 1, y el módulo de 1+i es √ 2.

El argumento representa la dirección de z. Lo denotamos por Arg(z), y no es más que el ángulo entre el eje x  y la línea uniendo el origen con el punto (x,y). El argumento sólo se define cuando z es distinto de cero. Por ejemplo, el argumento de i es de 90 grados, el argumento de 1 es de 0 grados, el argumento de -1 es de 180 grados, y el argumento de 1+i es de 45 grados.

Muchos matemáticos intentaron durante mucho tiempo hacer lo mismo en dimensión 3: ¿cómo podemos multiplicar puntos en el espacio? Llevó mucho tiempo comprender que tal cosa es imposible. En el espacio de 4 dimensiones, descubrieron que era posible hacer esto de modo parcial, ¡siempre y cuando uno abandone la idea de obtener una multiplicación que verifique la propiedad ab=ba! Y llegaron hasta el punto de descubrir que algo parecido es posible en dimensión 8, con la condición de olvidarse de la idea de que (ab)c=a(bc), antes de entender finalmente, a mediados del siglo XX, que, aparte de las dimensiones 1, 2, 4 y 8, ¡no hay absolutamente ningún modo de multiplicar puntos! Para entender algo acerca del las misteriosas afirmaciones anteriores, se puede mirar  esta página, esta otra, o también esta otra.

En resumen, cada punto del plano está definido por un único número - un número complejo. El plano que de partida era bidimensional, ¡se convierte ahora en unidimensional! No nos encontramos con ninguna contradicción aquí: el plano tiene dos dimensiones reales pero es una línea compleja unidimensional. Plano real, lineal compleja... dos dimensiones reales, una dimensión compleja. ¿Juegos de palabras?

5. De nuevo, ¡la proyección estereográfica!

Recordemos la proyección estereográfica: transforma la esfera bidimensional, eliminando el polo norte, en el plano tangente al polo sur. A medida que un punto se acerca al polo norte, su proyección se mueve a lo lejos en el plano, de modo que decimos que tiende al infinito.

Ahora, si pensamos en el plano tangente al polo sur como en una línea compleja, entenderemos por qué la esfera bidimensional (¡con 2 dimensiones reales!) se describe a menudo como la línea proyectiva compleja. Este es un bonito ejemplo de acrobacia matemática: ¡llamar línea a una esfera!

¿Acaso no decía Henri Poincaré que las matemáticas consisten en darle el mismo nombre a cosas diferentes?

6. Transformaciones

( Ver el vídeo: Capítulo 6: Números complejos, continuación)

Este capítulo pretende dar un poco de intuición sobre los números complejos efectuando diferentes transformaciones de la línea compleja.

Una transformación T es una operación que asocia a cada número complejo z, es decir, a cada punto del plano, otro punto T(z). Para ilustrar esto, colocaremos la fotografía de Adrien Douady en el plano y entonces mostraremos su imagen bajo la transformación: cada punto que forma parte del retrato se transforma mediante T.

Adrien eligió diferentes ejemplos para la transformación T :

T(z) = z/2
Cada número se divide por 2. Por supuesto, el resultado de esto es que la imagen se reduce por un factor de dos: ¡un zoom a la inversa! Llamamos a este tipo de operación una homotecia.

T(z) = iz
Esta transformación actúa simplemente mediante la rotación de un cuarto de vuelta, por la propia definición de i...

T(z) = (1+i)z
Como el módulo de 1+i es √ 2 y su argumento es de 45 grados, esta transformación actúa componiendo una rotación de 45 grados con una homotecia de factor √ 2. Esto se denomina una semejanza. Esta es una gran ventaja de los números complejos: nos permiten describir semejanzas de manera muy sencilla como multiplicaciones.

T(z) = z²
Aquí está nuestra primera transformación no lineal. Colocando la foto en dos lugares diferentes, nos damos cuenta del efecto de aplicar el cuadrado al plano complejo: los módulos se elevan al cuadrado, y los argumentos se duplican.

T(z) = -1/z
Esta actúa como una transformación parecida a lo que normalmente llamamos una inversión. Por supuesto, el origen, que se corresponde con el número 0, no puede ser transformado, pero podemos convenir en que el origen se envía al infinito. La razón es muy sencilla: si un número complejo z se aproxima a 0, es decir, si su módulo tiende a 0, entonces el módulo del número transformado  -1/z es el inverso del módulo de z, que tenderá a infinito. La transformación tiene la propiedad de "explotar", o dicho de otra forma, de mover entornos pequeños del origen muy muy lejos, más allá de los límites de la pantalla... Recíprocamente, los puntos que estaban muy lejos del origen se "aplastan" muy cerca del origen.

Durante mucho tiempo, los libros de texto dieron una gran importancia a la inversión, ya que permite demostrar teoremas muy bonitos. La principal propiedad de la inversión es que transforma circunferencias en circunferencias o en líneas restas. Los artistas a menudo usan este tipo de transformación, a la que dan el nombre de  anamorfismo.

Con mayor generalidad, si elegimos 4 números complejos a, b, c, d, podemos considerar la transformación

Estas transformaciones tienen diferentes nombres en matemáticas - transformaciones de Moebius, homografías, transformaciones proyectivas (o proyectividades)... - pero su propiedad principal es la de enviar circunferencias a circunferencias. Este es el grupo de transformaciones de un maravilloso tipo de geometría denominado geometría conforme, muy relacionado con la geometría no Euclídea, pero eso ¡es otra historia!

T(z) = z+k/z
Esta transformación fue estudiada por Joukowsky en su estudio de la aerodinámica de los perfiles alares. Aunque Adrien Douady podría haber elegido otras transformaciones, en concreto alguna que le hubiera hecho tener una figura más estilizada, el propósito de esta ilustración es mostrar una de las propiedades fundamentales de este tipo de transformación. Por supuesto, estas transformaciones ya no transforman circunferencias en circunferencias (sólo las transformaciones de Moebius tienen esta propiedad), sin embargo esta propiedad sigue siendo cierta a un nivel infinitesimal. Este tipo de transformaciones se denominan transformaciones holomorfas o conformes. Las raíces griega y latina "holo'' y "con'' significan "igual'', y "morfo'' por supuesto quiere decir "forma'': en otras palabras, estas transformaciones preservan las formas. El estudio de las funciones holomorfas es una de las áreas más importantes de las matemáticas.

6. Dinámica holomorfa

En la segunda parte del Capítulo 6, Adrien Douady nos hace una introducción a un tema magnífico, sobre el cuál él mismo hizo importantes contribuciones. Se trata del estudio de los conjuntos de Julia (nombrados así en honor al matemático francés Gaston Julia) los cuales, más allá de su interés puramente matemático, son extraordinariamente hermosos (estas dos propiedades están por supuesto relacionadas). Es raro que una teoría matemática de tanta profundidad pueda ilustrarse de un modo tan atractivo, y numerosos artistas se han inspirado en estas imágenes.

La idea inicial es muy sencilla: elegimos un número complejo arbitrario c. Entonces consideramos la transformación T_c(z) = z² + c. Esta transformación actúa primero elevando al cuadrado el número z y después aplicando sobre el resultado la traslación dada por c. El punto inicial z, se transforma en el punto z₁= T_c(z). Desde aquí consideramos el valor transformado del valor transformado, z₂= T_c(z₁), y repetimos este proceso una y otra vez, obteniendo una sucesión z_n de números complejos donde cada número es el transformado del anterior. Decimos que los números z_n de esta sucesión están en la órbita del valor inicial z bajo la transformación T_c. Estudiar el comportamiento de la sucesión z_n, equivale a entender la dinámica de la transformación T_c. En este caso nos estamos limitando a un ejemplo muy sencillo, pero este ejemplo es lo bastante rico como para dar lugar a matemáticas muy hermosas.

Consideremos en primer lugar el caso en el que c = 0. En esta situación procedemos repitiendo la transformación T_c(z)=z². El módulo de cada z_n vale por lo tanto el cuadrado del módulo precedente. Si el módulo de z es menor o igual a 1, es decir, si z está dentro del disco de radio 1 con centro en el origen, entonces todos los z_n estarán en el disco. Por otra parte, si el módulo de z es estrictamente mayor que 1, entonces los módulos de los z_n se harán cada vez más grandes tendiendo hacia el infinito: la órbita de z ¡acabará por salirse de la pantalla!

En el primer caso, decimos que la órbita es estable: permanece en una región acotada del plano. En el segundo caso es inestable: se pierde hacia el infinito. El conjunto de puntos z para los que la órbita es estable es por lo tanto el disco.

Con mayor generalidad, para cada valor de c podemos distinguir entre dos tipos de órbitas para los puntos z. La órbita de z bajo la acción de T_c es estable si permanece en una región acotada del plano, e inestable si no es así. El conjunto de los puntos z para los que la órbita es estable se denomina el conjunto de Julia de la transformación T_c. Comprender la estructura de estos conjuntos de Julia y el modo en el que varían al variar c es uno de los principales objetivos de la teoría de sistemas dinámicos holomorfos. En primer lugar, Adrien Douady nos muestra unos ejemplos de conjuntos de Julia para vario valores de c. Algunos de ellos tienen nombres exóticos, por ejemplo el "conejo'' (¿puedes ver sus orejas?) para el valor c= -0.12+0.77i.

Desde principios del siglo XX, sabemos que los conjuntos de Julia pueden ser de dos tipos. Pueden tener, como ocurre en los ejemplos que hemos visto, una única componente -- es decir, ser conexos como los llaman los matemáticos -- o bien pueden ser totalmente disconexos, consistentes en una cantidad infinita de piezas separadas, cada una con interior vacío, lo que equivale a decir que ¡no las podemos ver en el dibujo! Como consecuencia, hay valores de c para los cuales podemos ver el conjunto de Julia y otros para los que no vemos nada en absoluto (a pesar de que el conjunto de Julia sigue existiendo). El conjunto de valores de c para los cuales podemos ver el conjunto de Julia (es decir, los valores para los que el conjunto de Julia es conexo) se denomina el conjunto de Mandelbrot , llamado así en honor a Benoît Mandelbrot. Adrien Douady llevó a cabo una gran cantidad de trabajo para comprender este conjunto; él contribuyó por ejemplo a demostrar que el conjunto de Mandelbrot es conexo, y le habría encantado demostrar (como a muchos otros) que es localmente conexo...

El final del capítulo está dedicado a sumergirnos en el conjunto de Mandelbrot, a sumergirnos a gran profundidad, de hecho, ya que el factor de dilatación empleado es del orden de ¡doscientos mil millones! Podemos mirar a esta escena de dos maneras. Una es simplemente admirarla: ¡es lo bastante bella como para hacer eso! Pero también podemos plantearnos algunas cuestiones...

Por ejemplo, ¿cuál es el significado de los colores? Un viejo teorema nos dice que el conjunto de Julia no es conexo (en otras palabras, c no está en el conjunto de Mandelbrot) si y sólo si, la órbita del 0 bajo la acción de T_c es inestable. Para un valor dado de c podemos por tanto mirar a la órbita de z=0 bajo la acción de T_c y observar su comportamiento para valores grandes de n. Si z_n se hace muy grande rápidamente, eso significa que c no está en el conjunto de Mandelbrot, e incluso que está muy lejos de él. Si la sucesión z_n tiende hacia infinito, pero de manera más lenta, el punto c tampoco pertenecerá al conjunto de Mandelbrot, pero de algún modo está más cercano a él. El color del punto c depende de la velocidad con la que la sucesión z_n tiende al infinito, lo cual también nos muestra su "proximidad" con el conjunto de Mandelbrot. Si, por el contrario, z_n permanece en una región acotada, entonces c está en el conjunto de Mandelbrot y se colorea de negro.

El conjunto de Mandelbrot en la figura de arriba se ha coloreado siguiendo este método, pero existen docenas de métodos alternativos. En la animación, hemos empleado el método denominado "desigualdad triangular'': cuando el módulo de z_n se hace mayor que determinado valor, calculamos los módulos A=|z_n-z_n-2|, B=|z_n-z_n-1| y C=|z_n-1-z_n-2|.
La cantidad A/(B+C) siempre es un número entre 0 y 1, y usamos este número para encontrar una posición en una rueda de colores.

¿Por qué en ocasiones nos da la impresión de ver pequeñas copias negras del conjunto de Mandelbrot? Esto es mucho más difícil de explicar, y es uno de los importantes descubrimientos de Adrien Douady: el conjunto de Mandelbrot tiene la propiedad de auto-semejanza, una propiedad frecuente de los conjuntos fractales. Para comprender mejor esto, puede verse por ejemplo esta página.