Capítulos 7 y 8 : Fibración 

El matemático Heinz Hopf describe su "fibración". Utilizando números complejos construye hermosas composiciones de círculos en el espacio.

1. Heinz Hopf y la topología

La Topología es la ciencia que estudia las deformaciones. Por ejemplo, la taza y el toro representados a la derecha son por supuesto objetos diferentes, pero se puede pasar del uno al otro mediante una deformación continua que no introduce ninguna rotura: los matemáticos dicen que la taza y el toro son homeomorfos (de la misma forma). Y un topólogo es ¡¡la persona que no sabe distinguir su taza de café de su dona!!

Así pues, hubo de pasar un tiempo hasta que esta teoría alcanzó el status de disciplina autónoma, con sus propios problemas y sus métodos originales, a menudo de naturaleza cualitativa. Aunque tuvo prestigiosos predecesores (tales como Euler, Riemann, Listing o Tait^{[en Inglés]}), Henri Poincaré es normalmente considerado como el que estableció los fundamentos sólidos de la topología (a la que él llamó analysis situs).

Nuestro presentador, Heinz Hopf^{[en Inglés]} (1894-1971), es uno de sus más notables seguidores en la primera mitad del siglo XX.

2. La esfera S³ en C²

Ya vimos que la esfera S³ de radio 1 en el espacio de 4 dimensiones es el conjunto de puntos a una distancia uno del origen. Si tomamos cuatro coordenadas reales x₁,y₁,x₂,y₂ en este espacio, la ecuación de esta esfera es:

Pero podríamos pensar en (x₁,y₁) como un número complejo z₁ = x₁+i y₁ y en (x₂,y₂) como un número complejo z₂ = x₂+i y₂, y la esfera S³ puede ser imaginada como un par de números complejos (z₁,z₂) tales que

En otras palabras, la esfera S³ se puede considerar como la esfera unitaria en el plano complejo de dimensión 2. Por analogía, pero solo por analogía, se puede dibujar la esfera S³ como un círculo en un plano, pero es importante no olvidar que se trata de un plano complejo, en el que cada una de sus coordenadas z₁ y z₂ son números complejos. El eje z₂=0, por ejemplo, es una línea compleja, y por lo tanto un plano real, e intersecta la esfera S³ en un conjunto de puntos (z₁,0) tales que |z₁|² = 1, en otras palabras, en el círculo S¹. Lo mismo es cierto para el eje z₁=0 pero también para cualquier línea que pase por el origen, cuya ecuación es de la forma z₂= a.z₁, donde a es un número complejo. Así pues, cada número complejo a define una línea compleja z₂= a.z₁ que intersecta la esfera S³ en un círculo. Hay por lo tanto un círculo en S³ para cada número complejo a. Además, aunque el eje z₁=0 no es una ecuación de esta forma, uno puede considerarla como correspondiente a infinito (¿no es el eje vertical una línea de pendiente infinita?).

La esfera S³ está por lo tanto llena de círculos, uno por cada punto de S², es decir, por cada número complejo a (que permitimos que sea infinito). Ninguno de estos círculos se cruza con otro de diferente valor a. Es la descomposición de la esfera de 3 dimensiones en círculos lo que se llama Fibración de Hopf.

Recuérdese que si X e Y son dos conjuntos, una aplicación f de X en Y, a menudo representada f : X →  Y, es una regla que nos permite asociar a cada punto x de X un punto f(x) en Y.

Por ejemplo, podemos considerar la aplicación de Hopf f : S³ → S² que asocia a un punto (z₁,z₂) el punto z₂/z₁.

Esto precisa dos explicaciones:

Primero, un punto de S³ es un punto del plano de dimensión compleja 2 y puede ser descrito por sus coordenadas complejas (z₁,z₂).

Segundo, vimos, con la projección estereográfica, que si se añade al plano un punto en el infinito, se obtiene una esfera S². Y, por supuesto, el número complejo z₂/z₁ está bien definido solo cuando z₁ es distinto de cero, y si no lo es, hacemos que z₂/z₁ sea un punto en el infinito, de manera que z₂/z₁   defina de hecho un punto de S².

Para cada punto a de S², el conjunto de puntos de S³ cuya imagen por f es el punto a (es decir, la pre-imagen de a), a la que llamamos fibra sobre a, es un círculo en S³. ¿Cuál es la relación con la explicación anterior? Simplemente, que todos los puntos de la línea z₂= az₁ son tales que z₂/z₁ es constante (obviamente, ¡porque es igual a a !).

3. La fibración

Este capítulo nos invita en primer lugar a observar de cerca esta "fibración". Para cada a, tenemos un círculo en S³. ¿Cómo visualizamos esto? ¡Con la projección estereográfica, por supuesto! Se proyecta la esfera S³ sobre el espacio de 3 dimensiones tangencial al polo opuesto al punto de proyección. Esta proyección es un círculo en el espacio que puede ser contemplado (¡recuérdese a los lagartos!). Por supuesto, puede suceder que el círculo de S³ pase por el Polo Norte, de forma que su proyección estereográfica es una línea (es decir, un círculo al que le falta un punto... ¡que se ha ido al infinito!).

Varias secuencias ilustran la fibración:

Primero vemos solo un círculo de Hopf, asociado con el valor de a. Este punto a se mueve sobre la esfera S² (recuérdese, el plano complejo más un punto en infinito) y vemos que el círculo se mueve en el espacio y se convierte en una línea de vez en cuando, cuando a pasa por el punto en infinito.

Después vemos dos círculos de Hopf, asociados con dos valores de a, ambos en movimiento. En la parte inferior vemos los dos puntos a moviéndose, y simultáneamente, los dos círculos también en movimiento. Casualmente, nótese que los dos círculos están enlazados, como dos eslabones de una cadena. No se pueden separar sin romperlos. 

A continuación vemos tres círculos de Hopf para tres valores de a en movimiento coreografiado ... los círculos se separan, se aproximan,...

Finalmente, vemos muchos círculos de Hopf al mismo tiempo. Los valores de a se escogen al azar y los círculos correspondientes aparecen poco a poco. Así podemos "ver" cómo el espacio se llena de círculos, y que esos círculos no intersectan unos con otros. Pero además, ahora podemos comprender el origen de la palabra "fibración": todos estos círculos están dispuestos como fibras de material: localmente están bien ordenadas como un paquete de espaguetis. Este concepto de fibración, cuyo prototipo es la aplicación de Hopf, se convirtió en un concepto clave en la topología y la física de las matemáticas. Algunas fibraciones son mucho más complicadas, en espacios de dimensión mucho más elevada, ¡pero es ciertamente instructivo tener una visión clara de este ejemplo histórico!

Imaginar el plano real como una línea compleja es útil, pero imaginar el espacio de dimensión real 4 como un plano de dimensión compleja 2 ¡es incluso más útil!

4. La fibración ... continuación

Ver en: Capítulo 8 : Fibración, continuación.

Para entender mejor la fibración de Hopf f : S³ → S², considere una línea de latitud o paralelo p en S² y su “imagen previa” p por f es decir, el conjunto de puntos de S³ para el cuál la imagen por f está en p. Como la preimagen de cada punto de S² (cada fibra) es un círculo de Hopf y dado que una línea de latitud es también un círculo, la imagen previa de p está compuesta por una familia de círculos que depende de un parametro que pertenece al círculo p. Así que es una superficie en S³ para la que la imagen muestra la proyección estereográfica en el espacio de tres dimensiones, como es habitual. 

Cuando un paralelo está muy cerca de un polo de S² y es por lo tanto un círculo muy pequeño, la imagen previa de p es un pequeño tubo, cercano a la fibra sobre ese polo. Cuando el paralelo va creciendo gradualmente, llega a convertirse en el ecuador, y después vuelve a decrecer para acabar siendo un tubo muy fino. Estos tubos son toros en S³ pero sólo los observamos a través de sus proyecciones en el espacio tridimensional, de forma que no se ven bien cuando pasan cerca del Polo Norte de la esfera S³. 

Hablando estrictamente, un toro es la superficie de revolución en el espacio obenida al girar un círculo alrededor de un eje que está en su plano. Un punto del toro tiene dos coordenadas angulares: una que describe la posición en el círculo y otra que describe el ángulo que ha girado el círculo alrededor del eje.

Nótese la analogía con la longitud y la latitud. Los seres que viviesen en un toro (y no en una esfera como nuestra Tierra) también habrían inventado las ideas de meridianos, paralelos, longitud y latitud. 

De hecho, los topólogos a menudo llaman "toro" a cualquier superficie que es "homeomorfa" a un toro de revolución, como por ejemplo ¡una taza de café! Cuando quieren hablar de un toro obtenido girando un círculo, lo dejan claro diciendo toro de revolución.

En un toro de revolución se ven claramente dos familias de círculos: los meridianos (en azul) y los paralelos (en rojo). Distinguir entre meridianos y paralelos es ahora un poco más difícil. En la esfera era fácil: todos los meridianos pasan por los polos, pero ¡no hay polos en un toro de revolución! Así que llegamos al acuerdo (aunque es solo una convención) de llamar "meridianos" a las líneas azules porque están en planos que contienen el eje de simetría del toro de revolución, "parelelos" a los círculos rojos porque están en planos perpendiculares a ese eje.

El hecho de que se puedan trazar muchos otros círculos en un toro de revolución es una maravilla geométrica... Este capítulo explica cómo construirlos.

Recuérdese la fórmula que expresa la proyección de Hopf. En términos de coordenadas complejas, envía (z₁,z₂) al punto a considerado como un punto de S². Fijar una línea de latitud p en S², es lo mismo que fijar el módulo de un número complejo, de manera que la imagen previa de un paralelo se describe con una ecuación de la forma

Por ejemplo, elijamos el valor 1 para esta constante, de manera que z₁ y z₁ tienen el mismo módulo. Pero recuerde que

de manera que el módulo de z₁ y de z₂ son ambos iguales a √2/2. Así que la imagen previa del paralelo consiste en (z₁,z₂) donde z₁ y z₂ se escogen arbitrariamente en el círculo centrado en el origen y con radio √2/2. Así vemos que la imagen previa del paralelo es una superficie que está parametrizada por dos ángulos: como el toro, y así lo vemos en este capítulo. Si fijamos z₁, obtenemos un círculo en S³, y si fijamos z₂ obtenemos otro círculo, pero para un toro de revolución en dimensión 4 no es posible decir cuál es un meridiano y cuál un paralelo.

Cuando proyectamos estereográficamente este toro en el espacio de 3 dimensiones desde el Polo Norte, con coordenadas (0,1), no es difícil verificar que la proyección del toro no solo es homeomorfa a un toro, sino que es de hecho un toro de revolución. ¿Revolución sobre qué eje? Simplemente sobre la proyección estereográfica del círculo de Hopf que pasa por el Polo Norte; ¡esta proyección es realmente una línea! Así podemos ver cómo interpretar un toro de revolución como la imagen previa de un paralelo a través de la aplicación de Hopf. 

He aquí una consecuencia de este interpretación: para cada punto del paralelo escogido, el círculo de Hopf correspondiente está obviamente contendido en el toro de revolución. Acabamos de encontrar otros círculos en el toro de revolución...

He aquí algunas fórmulas. Considérese el toro de revolución en el espacio obtenido proyectando

desde el Polo Norte (0,1).

Consideremos ahora las aplicaciones que envían (z₁,z₂) a (ω.z₁,z₂) donde ω describe el círculo de números complejos de módulo 1. Como los módulos de z₁ y z₂ no cambian, estas aplicaciones preservan la esfera S³. Puntos de la forma (0,z₂) tampoco cambian. Lo que estamos viendo es la rotación en el espacio de dimensión 4 alrededor de la línea compleja z₁=0. Cuando la línea pasa por el polo de projección (0,1), su proyección estereográfica no es un círculo, sino una línea recta. Por lo tanto, estas aplicaciones, que dependen del parámetro ω, definen rotaciones de nuestro espacio alrededor de una línea. Estas rotaciones también preservan el toro de revolución que estamos observando de manera que la línea z₁=0 ¡es el eje de simetría del toro! 

Como consecuencia, el paralelo que pasa por (z₁,z₂) es el conjunto de puntos de la forma (ω.z₁, z₂) donde ω pertenece al círculo de números complejos de módulo 1. El meridiano que pasa por (z₁,z₂) es el conjunto de puntos de la forma (z₁, ω.z₂). 

El círculo de Hopf que pasa por (z₁,z₂) es el conjunto de puntos de la forma (ω.z₁, ω.z₂) (nótese que si multiplicamos z₁ y z₂ por ω, no cambiamos  z₂/z₁ así que todos estos puntos tienen la misma imagen por f; están en la misma fibra). Tampoco nos paramos aquí; a través de cada punto (z₁,z₂) podemos también considerar el círculo "simétrico" de puntos de la forma (ω.z₁, ω^-1.z₂) que nos da un cuarto círculo trazado sobre el toro de revolución.

Acabamos de mostrar que por cada punto de un toro de revolución se pueden dibujar cuatro círculos: un meridiano, un paralelo, un círculo de Hopf y el círculo simétrico al círculo de Hopf.

Esto se conocía desde hace tiempo. Estos círculos se solían llamar círculos de Villarceau^{[en Inglés]}, en honor de un matemático del siglo XIX. Pero, como ya se habrá dado cuenta, es bastante raro en matemáticas que un teorema se deba a la persona cuyo nombre lleva, dado lo largo y complejo del proceso de creación y asimilación. De hecho, una escalinata del museo de la catedral de Estrasburgo, fechada en el siglo XVI, muestra que los escultores ¡no tuvieron que esperar a Villarceau para tallar círculos en un toro!

La segunda parte de este capítulo representa los círculos de Villarceau de una manera independiente de la fibración de Hopf. Comenzando con un toro de revolución, se corta con un plano bitangente y se observa que la sección consiste en dos círculos.

¿Cómo demostramos esto? Se pueden escribir ecuaciones y calcular... Es posible (véase aquí^{[en Inglés]}), pero bueno, no es muy esclarecedor. Sin embargo, la geometría algebraica nos permite demostrarlo de forma magistral casi sin cálculos, si utilizamos conceptos como los "puntos cíclicos". Se trata de puntos que no solo son infinitos, ¡sino también imaginarios! Ya se sabe, ¡la imaginación no tiene límietes! Para ver una demostración del teorema de Villarceau con este tipo de ideas, véase este artículo^{[en Francés]}.

Si tomamos una superficie en el espacio de 3 dimensiones, la podemos considerar como una superficie en S³, añadiendo un punto en el infinito. Dado que S³ es la esfera unitaria en el espacio de 4 dimensiones, podemos girarla en el espacio de 4 dimensiones antes de, una vez más, proyectarla estereográficamente en el espacio de 3 dimensiones. Así obtenemos otra superficie parecida a la primera, pero que es diferente. Si comenzamos a partir de un toro de revolución, las superficies obtenidas con este método se llaman cíclidos de Dupin^{[en Inglés]} y se estudiaron extensamente en el siglo XIX. Como la proyección estereográfica transforma los círculos que no pasan por el polo en círculos, la existencia de cuatro familias de círculos en el toro de revolución implica que también hay cuatro familias de círculos en los cíclidos...

Un toro en el espacio de dimensión 3 puede por lo tanto imaginarse como una superficie en S³ que rota en el espacio de dimensión 4. Si observamos esto a través de una proyección estereográfica, vemos cómo el cíclido de Dupin cambia de forma y, en un momento determinado, cuando la superficie pasa a través de su polo de proyección, se hace infinitamente grande para volver a continuación a su forma original. Sin embargo, se puede ver que los meridianos se han convertido en paralelos, y viceversa, y que el toro se ha puesto del revés, ¡lo de dentro afuera!

La geometría de los círculos en el espacio es magnífica. A veces se la llama geometría analagmática ¡Es un tema sobre el que podríamos hablar y mostrar largo y tendido!

5. Hopf y la homotopía

Para terminar esta página, hé aquí algunos breves comentarios sobre las motivaciones de Hopf, sobre las que desafortunadamente no hablamos en el capítulo.

En topología a menudo se consideran aplicaciones entre espacios topológicos X e Y. No daremos aquí la definición, pero se puede pensar por ejemplo que X e Y son dos esferas de dimensión n y p. Por supuesto, hasta ahora solo habíamos hablado de esferas de dimensión 0,1,2 y 3, pero se puede adivinar que la historia no termina ahí... Por supuesto, no es muy interesante estudiar aplicaciones completamente arbitrarias, y nos centramos en las aplicaciones continuas, es decir, aquéllas para las que el punto f(x) no cambia mucho cuando el cambio de x es suficientemente pequeño. Por ejemplo, la aplicación que asocia a cada número real x el número +1 si x es distinto de cero, y -1 si x es cero, no es una aplicación continua, dado que "salta" cuando pasa por 0. Pero la aplicación que asocia a un número x su cuadrado x² es continua: si cambiamos un número solo un poquito, su cuadrado solo cambio un poco. Uno de los problemas fundamentales en topología consiste en comprender las aplicaciones continuas entre espacios topológicos, tales como las esferas.

De hecho, la topología es menos exigente: trata de comprender las homotopías. ¡Otra palabra complicada con un significado simple! Suponga que tomamos dos aplicaciones contínuas f₀ y f₁ de la esfera Sⁿ en la esfera S^p. Decimos que  f₀ y f₁ son homotópicas si podemos deformar la primera en la segunda. En otras palabras, esto quiere decir que hay una familia de aplicaciones f_t que dependen del parámetro t, que es un número entre 0 y 1, y que conecta  f₀ y f₁. De forma más precisa, esto quiere decir que podemos asociar a cada x de  Sⁿ y a cada número t entre 0 y 1 un punto f_t(x) de tal manera que define una aplicación continua de x y de t tal que para t=0 tenemos f₀ y para t=1 tenemos f₁. 

Por ejemplo, una aplicación f : S¹→ S² no es más que una curva cerrada trazada sobre la esfera de 2 dimensiones. Por ejemplo, la aplicación f₀ podría ser la que envía todos los puntos x de S¹ al Polo Norte: eso es lo que llamamos una aplicación constante. Como aplicación f₁, podríamos por ejemplo tomar la que envía el círculo S¹ al ecuador de S². Decir que estas dos aplicaciones son homotópicas significa que podemos deformar progresivamente el ecuador hasta que se convierta en el Polo Norte. Eso es lo que puede verse en la imagen de la derecha. De hecho, resulta que esto es siempre posible; todo par de aplicacione S¹ en S² son siempre homotópicas.  El topólogo dice que todas las curvas trazadas sobre la esfera S² son homotópicas a curvas constantes, o que S² es simplemente conexa. No debería ser difícil convencerle de que lo mismo es cierto para las esferas S^p, de cualquier dimension mayor o igual que dos (véase también esta página)

Una aplicación entre S¹ y S¹ equivale a transformar cada punto de un círculo en otro punto del círculo: hasta cierto punto es una curva trazada sobre un círculo. Una aplicación así tiene un grado: esto es, el número de revoluciones completas que realiza. Por ejemplo, la aplicación constante no gira nada: su grado es 0. La aplicación identidad, que envía cada punto a sí mismo, realiza evidentemente una revolución: su grado es 1. La aplicación que envía cada número complejo de módulo 1 a su cuadrado dobla el argumento. Así, conforme viajamos una vez alrededor del círculo, el cuadardo realiza dos revoluciones: su grado es 2. Cuando una aplicación se deforma, su grado no cambia, así que hay aplicaciones de S¹ a S¹ que no son deformables a aplicaciones constantes... Es un poco más complicado de ver que el que dos aplicaciones del mismo grado son deformables la una a la otra.

Pero, ¿qué hay de las aplicaciones entre S² y S²? Es similar al caso de S¹ a S¹; podemos también definir un grado, aunque ya no se refiera a contar el "número de revoluciones": ahora es cuestión de contar con qué frecuencia la imagen de f "cubre" la esfera, y esto no es fácil de definir. El ejemplo más sencillo es la identidad: la aplicación que envía cada punto a sí mismo; su grado es 1. Podemos sospechar que no es posible deformar la identidad de la esfera S² para hacerla constante, sin rasgar la esfera. Pero ¡todavía tenemos que probarlo!

La sorpresa llegó en 1931, cuando Heinz Hopf mostró que ciertas aplicaciones de S³ en S² no podían ser deformadas de forma contínua a aplicaciones constantes. Por supuesto, su ejemplo es la fibración de Hopf que acabamos de conocer. Poco a poco se fue convirtiendo en un objeto extremadamente importante en matemáticas, pero también en física.

Es la propiedad de que cada par de fibras está interrelacionado, lo que subyace en el hecho de que es imposible deformar la aplicación de Hopf f : S³→ S² a una aplicación constante. Dar una justificación convincente requeriría una larga explicación. Véase este libro^{[en Inglés]} para una completa aunque complicada exposición, o incluso el artículo^{[en Alemán]} original de Hopf, para una demostración y muchos otros detalles.

¿Qué sabemos de las aplicaciones entre Sⁿ y S^p con valores arbitrarios de n y p? Se saben muchas cosas, pero aún estamos lejos de saberlo todo: ¡las "clases homotópicas de las aplicaciones entre esferas" siguen siendo prácticamente un misterio!

La "fibración de Hopf" es sólo una de las contribuciones de Heinz Hopf. Tuvo un profundo impacto en las matemáticas del siglo XX.