 |
| 日本語 / русский / 简 体中文 / 繁 體中文 / Português / Français / Español / English / Nederlands |
|
|
| نحو الفصل 5 | نحو الفصل 9 |
|
ا 1.
هاينز هوبف والطوبولوجيا
|
|
الطوبولوجيا هي العلم الذي يدرس التشويهات. على سبيل المثال، هنا عن اليمين، الفنجان والعوامة(أوالطافية) هما بطبيعة الحال شيئان مختلفان،
لكن من
الممكن الانتقال من أحد الشيئين إلى الآخر بتشويه مستمر لا يُحدث أي
تمزق فيهما : يقول عالم الرياضيات إن الفنجان والعوامة مستشاكلان (homéomorphes, homeomorphic)، أي إن لهما نفس
الشكل. عالم الطبولوجيا هو ذلك الذي لا يميز فنجان قهوته
من فطيرته! ما يُعتبر هنري بوانكاري بأنه الذي أرسى الأسس المتينة للطوبولوجيا (التي كان يسميها التحليل الموضعي). |
 |
 |
|
 |
|||
 |
 |
 |
|
2. الكرة S3 في C2سبق أن رأينا أن
الكرة S3 التي نصف قطرها 1، في الفضاء الرباعي
الأبعاد، هي مجموعة النقط التي مسافتها عن المبدأ تساوي 1. وإذا أخذنا أربع
إحداثيات حقيقية x1,y1,x2,y2
لكن يمكننا أن نتصور(x1,y1) عددا مركبا
z1
= x1+i y
و(x2,y2)
عددا مركبا z2
= x2+i
y2. عندئذ يمكن تصورالكرة
S3 كمجموعة
ثنائيات الأعداد المركبة (z1,z2) التي
تحقق
|
|
بعبارة أخرى، يمكن أن نعتبرأن الكرة S3 هي كرة الوحدة في المستوي ذي البعد المركب 2. بالتشبيه، وبالتشبيه فحسب، يمكن رسم الكرة S3 كدائرة في مستو، لكن يجب الانتباه إلى كون هذا المستوي مركبا، وإلى كون كل من إحداثييه z1 و z2 عددا مركبا. إن المحور z2 = 0 على سبيل المثال، مستقيم مركب، أي مستو حقيقي وهو يلتقي الكرة S3 على مجموعة النقط بحيث z1|2 = 1|، أو بعبارة أخرى على دائرة S1. نفس الشيء يظل صحيحا بالنسبة إلى المحورz1 = 0، لكن أيضا بالنسبة إلى كل المستقيمات التي تمر بالمبدأ والتي معادلاتها من الشكل z2 = a.z1 حيث a عدد مركب. وهكذا فكل عدد مركب a يعرّف مستقيما مركبا z2 = a.z1 يقطع الكرة S3 في دائرة. لدينا إذن في S3 دائرة من أجل كل عدد مركب a. من جهة أخرى ليس للمحور z1 = 0 معادلة من هذا الشكل، لكننا يمكن أن نقول إن ذلك يطابق الحالة التي يكون فيها a غير منته (أليس هذا المحور مستقيما ميله غير منته؟). الكرة S3 هي إذن مملوءة بدوائر، واحدة لكل نقطة من S2، أي من أجل كل عدد مركب a (يُسمح له بأن يكون غير منته). كل دائرتين من هذه الدوائر لا تلتقيان من أجل قيمتين مختلفتين لـ a. إن هذا التحليل للكرة الثلاثية الأبعاد إلى دوائرهوالذي يدعى تلييف هوبف. |
 |
| انقروا الصورة لمشاهدة فيلم |
 |
نذكّر أنه إذا كانت X و Y مجموعتين فإن تطبيقا f من X نحو Y، والذي يرمز إليه غالبا بـ f : X → Y، هو قاعدة تسمح بإرفاق كل x من X بنقطة (f(x من Y. على سبيل المثال، يمكن أن نعتبر تطبيق هوبف f : S3 → S2 الذي يرفق بالنقطة ( z1,z2) من S3 النقطة z2/z1 من S2.
يستحق ذلك تطبيقين:
أولا، كل نقطة من S3 هي نقطة من المستوي
ذي البعد المركب 2، ويمكن وصفها بعددين
مركبين (z1,z2). ثانيا رأينا، بإسقاط مجسامي، أنه إذا أضفنا نقطة في اللامنتهي إلى مستو، فإننا نحصل على كرة S2. بطبيعة الحال فالعدد المركب z2/z1 لا يكون معرفا إلا إذا كان z1 غير منعدم ودون ذلك نصطلح على أن z2/z1 هي نقطة اللامنتهي، بحيث أن z2/z1 يعرّف فعلا نقطة منS2. |
|
|
من أجل كل نقطة a من S2 فإن مجموعة نقط S3 التي صورتها بـ f هي النقطة a (يعني الصورة العكسية لـ a)، والتي تدعى ليفة فوق a، هي دائرة فيS3. ما هي علاقة ذلك بالتفسير السابق؟ هذه العلاقة هي بكل بساطة أن كل نقط مستقيم z2 = a.z1 هي بحيث يكون z2/z1 ثابتا (بطبيعة الحال، بما أنه يساوي a!).
|
||
3. التلييف |
|
يقدم الفيلم بادئ ذي بدء ملاحظة من قريب لهذا "التلييف". من أجل كل a، لدينا دائرة في S3.
كيف نمثله؟ بإسقاط مجسامي بطبيعة الحال! نسقط الكرة S3
على المستوي الثلاثي الأبعاد المماس في القطب المقابل لقطب الإسقاط.
هذا الإسقاط هو دائرة في الفضاء، يمكن أن تشاهدوه (تذكروا الزواحف!). طبعا قد يحدث أن تمر دائرة S3 بالقطب الشمالي وعندئذ يكون إسقاطها المجسامي مستقيما (يعني دائرة تنقصها نقطة... ذهبت إلى مالا نهاية!). .. |
 |
 |
هاهي عدة لقطات توضح التلييف : أولا، نٌظهر دائرة وحيدة لهوبف، مرفقة بقيمة لـ a. هذه النقطة a تتحرك على الكرة S2 (تذكروا، المستقيم المركب مضافا إليه نقطة اللامنتهي) و نرى الدائرة التي تتحرك في الفضاء والتي تتحول إلى مستقيم من حين إلى آخر، عندما يمر a بنقطة اللامنتهي. ثم نظهر دائرتين لهوبف، مرفقتين بقيمتين لـ a، تتحركان كذلك. في أسفل الشاشة، نرى النقطتين a اللتين تتحركان، وبتزامن نرى الدائرتين. إنها مناسبة لملاحظة أن الدائرتين متشابكتان، مثل حلقتين في سلسلة. لا يمكن فصلهما دون كسرهما. ثم بعد ذلك نظهرثلاث دوائر لهوبف من أجل ثلاث قيم لـ a والتي تصف رقصة إيقاعية (كورِغرافيا)... الدوائر تبتعد، تقترب... |
| انقروا الصورة لمشاهدة فيلم |
|
أخيرا نظهر دوائر كثيرة لهوبف في نفس الوقت. نختار قيما لـ a ،عشوائيا، ثم نرسم الدوائرالمرفقة بها والتي تظهر شيئا فشيئا. وهكذا يمكن أن "نرى" أن الفضاء مملوء بالدوائر وأن هذه الدوائر لا تلتقي فيما بينها. لكننا نفهم أيضا مصدر كلمة "تلييف": كل هذه الدوائر تتنظّم مثل ألياف نسيج: إنها منظمة محليا مثل حزمة سباغيتي. مفهوم التلييف هذا والذي نموذجه تطبيق هوبف، أضحى مركزيا في الطوبولوجيا وفي الفيزياء الرياضياتية. بعض التلاييف أكثر تعقيدا، على فضاءات من أبعاد مرتفعة أكثر، لكن من المفيد أن تتكوّن لدينا نظرة واضحة من هذا المثال التاريخي! تصورٌ المستوي الحقيقي مستقيما مركبا شيء مفيد، لكن تصور الفضاء ذي البعد الحقيقي 4 مستويا بعده المركب 2 أفيد بكثير! |
 |
4. التلييف... تتمةأنظروا في الفيلم : الفصل 8 : التلييف، تتمة. |
 |
لكي نفهم تلييف هوبفf : S3
→ S2 بصورة أفضل، من
الممكن اعتبار مواز p فيS2 ثم "الصورة العكسية"
لـ p
وفق f، يعني مجموعة
نقط S3 التي تنتمي صورتها وفق f إلى p. بما أن
الصورة العكسية لكل نقطة من S2(كل
ليفة) هي دائرة لهوبف وأن أي مواز هو
أيضا دائرة، فإن الصورة العكسية لـ p ممسوحة بعائلة من
الدوائر تتعلق هي ذاتها بوسيط ينتمي إلى
الدائرة p. فهي إذن
سطح في S
3، يُظهر الفيلم مسقطه
المجسامي في الفضاء ذي البعد 3
كالعادة. لمّا يكون الموازي قريبا جدا من قطب لـS2 والذي يكون حينئذ
دائرة صغيرة جدا، فإن الصورة العكسية لـ
p هي أنبوب صغير بجوار الليفة التي فوق هذا القطب. لمّا يكبرالموازي تدريجيا حتى يصبح خط الأستواء ثم يتناقص من جديد ليقترب في الأخير من القطب المقابل، فإن الأنبوب يكبر تدريجيا ثم يتناقص من جديد وينتهي به الأمر ليصبح أنبوبا رفيعا جدا. هذه الأنابيب هي طارات فيS3، لكننا لسنا نراها إلا من خلال مساقطها في الفضاء الثلاثي الأبعاد، بحيث أنها لا تبدو رفيعة جدا عندما تمر قريبا من القطب الشمالي للكرة S3. |
| انقروا الصورة لمشاهدة فيلم |
|
بعبارة أدق، نسمي طارة كل سطح دوراني في الفضاء ناتج من دوران دائرة حول محور محتوََى في مستويها. لكل نقطة من طارة إحداثيان زاويّان : واحد يصف الموقع على الدائرة والآخر يعبّرعن الزاوية التي تم بها دوران الدائرة. نلاحظ هنا التشبيه مع خطي الطول والعرض. لوعاشت كائنات على طارة (وليس على كرة ككوكبنا) لاخترعت فكرة خطوط الطول والموازيات وزاويتي الطول والعرض. |
|
في
الواقع، كثيرا ما يسمي الطوبولوجيون "طارة" كل سطح مستشاكل مع طارة
دورانية، كفنجان قهوة على سبيل المثال. وكلما
أرادوا الكلام عن طارة ناتجة من دوران دائرة أوضحوا وقالوا طارة
دورانية.
نشاهد على طارة دورانية بوضوح عائلتين من الدوائر: خطوط الطول (بالأزرق) والموازيات (بالأحمر). الآن يكون التمييز بين خطوط الطول والموازيات أكثر صعوبة. كان ذلك أيسر في حالة كرة : كل خطوط الطول تمر بالقطبين، لكن على طارة دورانية لا توجد أقطاب. حينئذ يُصطلح (وهذا مجرد اصطلاح) على تسمية الدوائرالزرقاء "خطوط طول" لأنها تنتج من تلاقي الطارة بمستويات تشمل محور تناظر دوران الطارة، وعلى تسمية "موازيات" الدوائر الحمراء لأنها محتواة في مستويات متوازية عمودية على هذا المحور. وإحدى روائع الهندسة
هي أنه من الممكن رسم دوائر كثيرة على طارة دورانية... وهذا الفصل يفسر
كيف يتم إنشاء هذه الدوائر. |
 |
|
لنتذكر العلاقة التي تعبّرعن إسقاط هوبف. بلغة الإحداثيات المركبة فهو يرفق بـ (z1,z2) النقطة a =z2/z المعتبرة كنقطة من S 2. وتحديد مواز p فيS 2 يعني تحديد طويلة (أومعيار) عدد مركب، حتى إن الصورة العكسية لمواز تكون موصوفة بمعادلة من الشكل .|z2/z1| = ثابتا لنخترعلى سبيل المثال العدد 1 لهذا الثابت، حينئذ يكون للعددين z1 وz2 نفس الطويلة. لكن لا ننسى أن إذن فطويلتا العددين z1 وz2 تساويان 2/2 √. وهكذا فالصورة العكسية لهذا الموازي تتكوّن من (z1,z2) حيث يؤخذ z1 وz2 بصورة كيفية على الدائرة الممركزة في المبدأ، والتي نصف قطرها يساوي 2/2 √. نرى إذن أن السطح الذي هوالصورة العكسية لمواز يكون موسّطا بزاويتين : فهو إذن طارة، مثلما نشاهده في الفيلم. إذا ما ثبّتنا z1 فسنحصل على دائرة فيS 3، وإذا ما ثبّتنا z2 فسنحصل على دائرة أخرى، لكن بالنسبة إلى طارة في البعد 4، ليس من الممكن التمييز بين الموازيات وخطوط الطول. إذا ما أسقطنا مجساميا هذه الطارة على الفضاء ذي البعد 3 انطلاقا من القطب الشمالي الذي إحداثياه (1، 0)، فليس من العسير التحقق من أن مسقط الطارة ليس مستشاكلا مع طارة وحسب بل أن الأمر يتعلق بطارة دورانية. دوران حول أي محور؟ ببساطة حول المسقط المجسامي لدائرة هوبف التي تمر من القطب الشمالي؛ هذا المسقط هو فعلا مستقيم! نحن إذن نرى كيف أن طارة دورانية يمكن تفسيرها كصورة عكسية لمواز بتطبيق هوبف. ها هي نتيجة لهذا التفسير : من أجل كل نقطة مختارة من الموازي p في S 2، فإن دائرة هوبف المقابلة لها هي بالفعل محتواة في الطارة الدورانية هذه. ها نحن إذن اكتشفنا دوائر أخرى على طارة دورانية... هاهي بعض العلاقات.
نعتبر إذن الطارة الدورانية في الفضاء والناتجة من إسقاط .(انطلاقا من القطب الشمالي (0،1 لنعتبر بعد ذلك التطبيقات التي ترسل (z1,z2) إلى (ω.z1,z2) حيث ω يمسح دائرة الأعداد المركبة التي طويلتها تساوي1.
لاحظوا أنها تحفظ الكرة S3،
بما
أن طويلتي z1 و z2 محفوظتان.
لاحظوا كذلك أن هذه التطبيقات تدع النقط من الشكل (0,z2) ثابتة. يتعلق الأمر في الواقع بدورانات
في الفضاء ذي
البعد 4 "حول" المستقيم المركب الذي معادلته z1 = 0. بما أن هذا المستقيم يمر من قطب الإسقاط (1، 0) فإن مسقطه المجسامي ليس دائرة بل هو مستقيم. وعبر إسقاط مجسامي فهذه التطبيقات (المتعلقة بالوسيط ω) لا تٌعرّف أي شيء آخر سوى دورانات فضائنا حول مستقيم. لكن من المؤكد أن هذه التطبيقات تحفظ أيضا الطارة الدورانية التي نعالجها، حتى إن المستقميم z1 = 0 يطابق محور دوران هذه الطارة ! |
|
وبالتالي
فالموازي المارمن (z1,z2) هو مجموعة
النقط من الشكل (ω.z1,
z2) حيث ω يصف دائرة
الأعداد المركبة التي طويلتها 1.
يمكن كذلك أن نرى أن خط الطول المارمن (z1,z2) هومجموعة
النقط من الشكل دائرة هوبف
المارة من (z1,z2) هي مجموعة النقط من
الشكل (ω.z1,
ω.z2)(لاحظوا أنه لو ضربنا
z1
وz2
في ω فلن يتغير z2/z1 ولذلك فإن لهذه
النقط كلها نفس الصورة وفق f
: إنها في نفس
الليفة). لا نقف عند هذا الحد: من كل نقطة (z1,z2)
يمكن كذلك اعتبار
الدائرة "النظيرة" للنقط من الشكل (ω.z1,
ω-1.z2)
وهو ما يعطي
دائرة رابعة مرسومة على الطارة الدورانية.
ها نحن قد
أثبتنا أنه
من كل نقطة من طارة دورانية من الممكن تمرير أربع دوائر: خط طول، مواز،
دائرة لهوبف ونظير دائرة لهوبف. |
 |
 |
كان هذا الأمر معروفا
منذ زمن طويل. عموما يجري الحديث عن دوائر فيلارسو، بتشديد اللام
(Villarceau)
|
|
ٌيظهر الجزء الثاني من هذا الفصل دوائر فيلارسو، بطريقة مستقلة عن تلييف هوبف. ننطلق من طارة دورانية ونقطعها بمستو ثنائي التماس لنلاحظ ان التقاطع يتكون من دائرتين. كيف يتم إثبات ذلك؟ يمكن أن نكتب معادلات ونجري الحساب... هذا ممكن (أنظروا هنا) لكنه أقل إيضاحا. بيدأن الهندسة الجبرية تسمح بإثبات ذلك بطريقة رائعة ودون حساب تقريبا، شرط أن نستعمل مفاهيم مثل "النقطتين الدوريتين"(points cycliques). إنهما نقطتان ليستا في اللامنتهي وحسب بل إنهما تخيليتان! أنتم ترون، فالخيال غير منته! وابتغاء إثباتِِ لمبرهنة فيلارسو بهذا النمط من الأفكار، عودوا إلى هذا النص.
|
 |
 |
انطلاقا من سطح في الفضاء ذي البعد 3 من الممكن اعتباره سطحا في S3، بإضافة نقطة في اللامنتهي. بما أن S3 هي كرة الوحدة في الفضاء ذي البعد 4 فإنه من الممكن إدارتها بدورانات رباعية الأبعاد، لإسقاطها بعد ذلك من جديد مجساميا على الفضاء ذي البعد 3! نحصل على سطح آخر يشبه السطح الأول لكنه يختلف عنه! إذا انطلقنا من طارة دورانية فإن السطوح الناتجة تدعى "دويريات دوبين" cyclides de Dupin وقد تم تناولها بالدراسة بإسهاب خلال القرن التاسع عشر. وما دام الإسقاط المجسامي يحوّل الدوائر التي لا تمر من القطب إلى دوائر، فإن وجود أربع عائلات من الدوائر على الطارات الدورانية يستلزم وجود أربع عائلات كذلك على الدويريات... إذا ما أخذنا طارة دورانية في الفضاء ذي البعد 3، إذا تصورناها سطحا في S3، إذا ما جعلناهذا السطح يدور تدريجيا في الفضاء ذي البعد 4، وإذا ما لاحظناه بالإسقاط المجسامي، فإننا نشاهد فيلما تتشوه فيه دويرية لدوبين تدريجيا، تنفجر في لحظة ما عندما تمر من قطب الإسقاط ثم تعود إلى نقطة انطلاقها. لكن يمكنكم أن تلاحظوا أن خطوط الطول تحولت إلى موازيات والعكس بالعكس، وأن الوجه الداخلي للطارة صار وجهها الخارجي!
|
| انقروا الصورة لمشاهدة فيلم |
|
إن هندسة الدوائر في الفضاء رائعة وهي أحيانا تحمل اسم الهندسة الأنالّغماتية (anallagmatique) والمفردة تعني مالا يتغير بتعاكس. سيكون هناك الكثيرللقول والتبيان !
5. هوبف
والترادف (L'homotopie, Homotopy) لإنهاء هذه الصفحة، إليكم بعض التوضيحات السريعة حول دوافع هوبف والتي لا نتحدث عنها مع الأسف في الفيلم. في الطوبولوجيا كثيرا ما نعتبر التطبيقات بين فضائين طوبولوجيين X و Y. لا نورد هنا تعريفا لهذا المفهوم، لكن من الممكن أن نتصورعلى سبيل المثال، أن X و Y هما الكرتان من االبعد n و p. بطبيعة الحال فنحن لم نناقش حتى الآن سوى الكرات من البعد 0، 1، 2 و3. لكنكم تتصورون حتما أن الموضوع لا يقف عند هذا الحد... طبعا فلن يكون هناك اهتمام كبير في دراسة التطبيقات، أيا كانت هذه التطبيقات، وسيتم التركيز على التطبيقات المستمرة، أي تلك التي من أجلها لا تتغير النقطة (f (x كثيرا لمّا يتغير x قليلا بما فيه الكفاية. على سبيل المثال،
فالتطبيق الذي يرفق بالعدد الحقيقي x العدد 1+ لما يكون x غير منعدم، والعدد 1
- لما
يكون x منعدما، ليس مستمرا
لأنه "يقفز" عند اجتياز 0. لكن التطبيق الذي
يرفق بكل عدد x مربعه x2
مستمر : إذا ما غيرنا عددا بقليل فسيتغير مربعه بقليل. وأحد المسائل
الأساسية في الطوبولوجيا يكمن في فهم التطبيقات المستمرة بين الفضاءات
الطوبولوجية، بين كرات على سبيل المثال. في الواقع، إن الطوبولوجيا لا تتطلب الكثير : إنها تسعى إلى فهم الترادفات (Les homotopies). هذه أيضا كلمة معقدة لا تعني إلا شيئا بسيطا! لنفرض أن لدينا تطبيقين مستمرين f0 وf1 من الكرة S n في الكرة S p. نقول إن f0 و f1 مترادفان إذا استطعنا القيام بتشويه الأول لتحويله إلى الثاني. بعبارة أخرى يعني هذا وجود عائلة من التطبيقات ft المتعلقة بوسيط t محصور بين 0 و 1 والتي تربط f0 و f1. بعبارة أوضح فذلك يعني أيضا أننا نستطيع أن نرفق بكل x من S n وبكل عدد t محصور بين 0 و1، نقطة تكون دالة مستمرة بالنسبة إلى x و t، بحيث أن من أجل t = 0 نحصل على f0، ومن أجل t = 1 نحصل على f1. |
|
إليكم مثالا. إن تطبيقا f: S1→ S2 ليس سوى منحن مغلق مرسوم على الكرة التي بعدها 2. يمكن أن يكون f0 مثلا التطبيق الذي يرسل كل النقط x من الكرة S1 إلى القطب الشمالي: وهذا ما يُدعى تطبيقا ثابتا. أما التطبيق f1 فيمكن مثلا أن يكون ذلك الذي يرسل الدائرة S1 إلى خط الاستواء في S2. والقول إن هذين التطبيقين مترادفان يعني إمكانية التشويه التدريجي لخط الاستواء وتحويله إلى القطب الشمالي. هذا ما نشاهده على الصورة عن اليمين. في الواقع، الحال هي دائما هكذا: كل تطبيقين من S1 فيS2 مترادفان. تقول الطوبولوجيا إن كل المنحنيات المرسومة على الكرة مترادفة مع المنحنيات الثابتة؛ أوأيضا، إن الكرة مترابطة ببساطة. كذلك لن يكون الأمر صعبا للتأكد من أن نفس الشيء يظل صحيحا بالنسبة إلى الكرات S p من كل الأبعاد الأكبر من 2 أو تساوي 2 (شاهدوا أيضا هذه الصفحة). |
|
 |
|
كل تطبيق من S1 فيS1 يتوقف على تحويل كل نقطة من الدائرة إلى نقطة أخرى من الدائرة، أي على لف دائرة على أخرى. لمثل هذا التطبيق درجة: وهي ببساطة عدد الدورات التي يقوم بها هذا التطبيق. التطبيق الثابت على سبيل المثال، لا يقوم بأي دورة : درجته تساوي 0. والتطبيق المطابق الذي يرسل كل نقطة إلى تلك النقطة نفسها يُجري دورة واحدة : درجته تساوي 1. التطبيق الذي يحول كل عدد مركب طويلته 1 إلى مربعه يضاعف العمدة. إذا قمنا بدورة واحدة على الدائرة فإن المربع يقوم بدورتين : درجة هذا التطبيق هي إذن 2. عندما نشوه تطبيقا فإننا لا نغير درجته (هذا ليس شيئا واضحا بما فيه الكفاية!). توجد تطبيقات منS1 فيS1 ليست مترادفة مع أي تطبيق ثابت... ليس من اليسير أن نرى أن تطبيقين من نفس الدرجة قابلان للتشويه فيما بينهما. |
 |
لكن ما هي الحال بالنسبة إلى التطبيقات بين S2 وS2؟ الأمر مماثل للحالة منS1 نحوS1 : من الممكن أيضا تعريف درجة، حتى ولو أن الأمر لا يتعلق بتاتا بحساب"عدد الدورات": يتعلق الأمر الآن بحساب عدد المرات التي يغطي فيها التطبيق الكرة؛ وهذا فليس من اليسير تعريفه. المثال الأكثر بساطة هو التطبيق المطابق: التطبيق الذي يحول كل نقطة إلى تلك النقطة ذاتها. درجة هذا التطبيق تساوي 1. ونشك في إمكانية تشويه التطبيق المطابق في S2، لجعله ثابتا دون تمزيق الكرة. لكن أيضا يجب إثبات هذه الدعوى! كانت المفاجأة
سنة 1931 لما أثبت
هاينز هوبف أن بعض التطبيقات من S
3 نحوS 2
لا يمكن تشويهها باستمرار إلى تطبيقات ثابتة. مثاله كان بطبيعة الحال
تلييف هوبف الذي سبق أن صادفناه. لقد صار ذلك تدريجيا شيئا بالغ
الأهمية
في الرياضيات وكذلك في الفيزياء. |
|
ماذا نعرف عن التطبيقات بين S n وS p من أجل قيم كيفية لـ n وp؟ نعلم كثيرا من الأشياء، لكننا بعيدون عن معرفة كل شيء: "أصناف ترادف التطبيقات بين الكرات" تبقى في جوهرها لغزا ! "تلييف هوبف" هذا ليس سوى أحد إسهامات هاينز هوبف. لقد أثّر بصورة عميقة في رياضيات القرن العشرين. |
| نحو الفصل 5 | نحو الفصل 9 |