Capitulos 7 e 8 : A fibração 

O matemático Heinz Hopf descreve sua "fibração". Graças aos números complexos constrói  arranjos bonitos de círculos no espaço.

1. Heinz Hopf e a topologia

A topologia é a ciência que estuda as deformações. Por exemplo, a caneca e a bóia aqui à direita são certamente dois objetos diferentes, mas pode-se passar de um a outro por uma deformação contínua que não introduz nenhuma ruptura: o matemático diz que a caneca e a bóia são homeomorfas (mesma forma). E um topólogo, é uma pessoa que não distingue a sua caneca de café de uma rosquinha.
 
Aí ainda, a teoria foi estudada muito tempo antes de chegar à estatura de uma disciplina autônoma, com a sua própria problemática e os seus métodos originais, frequentemente por natureza, qualitativos. Mesmo tendo antecessores famosos (como Euler, Riemann, Listing ou Tait),), considera-se frequentemente que foi  Henri Poincaré que lançou as bases sólidas da topologia (que se chamava analysis situs).

O nosso apresentador, Heinz Hopf (1894-1971), foi um do seus seguidores mais notáveis, na primeira metade do século vinte.

2. A esfera S³ em C²

Vimos que a esfera S³ de raio unitário no espaço de dimensão 4 é o conjunto dos pontos à distancia de uma unidade da origem. Se se tomam quatro coordenadas reais x₁, y₁, x₂, y₂ neste espaço, a equação desta esfera é: 

                                                                                     x₁² + y₁² + x₂² + y₂²= 1. 

Mas se pode pensar em (x₁, y₁) como um número complexo z₁ = x₁ + i y₁ e em (x₂, y₂) como o número complexo z₂ = x₂ + i y_2, e a esfera  S³ pode então ser pensada como o conjunto de pares de números complexos  (z₁, z₂) tais que.

Em outros termos, a esfera S³ pode ser considerada como a esfera unitária no plano de dimensão 2 complexo. Por analogia, mas apenas por analogia, pode-se então desenhar a esfera S³ como um círculo num plano, mas é necessário tomar cuidado com o   fato de que  este plano é complexo, que cada um das suas coordenadas z₁ e z₂ é um número complexo. O eixo z₂=0, por exemplo, é uma reta complexa, por conseguinte um plano real, e encontra a esfera S³  no conjunto dos pontos (z₁, 0) tais que |z₁|² = 1, em outros termos sobre um círculo S¹. A mesma coisa é verdadeira para o eixo z₁ = 0  mas  também para todas as retas que passam pela origem, cuja equação é da forma z₂ = a.z₁,  onde a é um número complexo. Assim cada número complexo a define uma reta complexa z₂ = a.z₁ que corta a esfera S³ em um círculo. Tem-se então um círculo em S³  para cada número complexo a. De resto, o eixo z₁ = 0 não tem uma equação desta forma, mas pode-se dizer que isto corresponde ao caso onde  a  é infinito (o eixo vertical não é uma reta de inclinação infinita?). 

A esfera S³ é então preenchida por círculos, um para cada ponto de S², isto é, para cada número complexo a (que pode ser infinito). Dois destes círculos não se encontram para valores de a diferentes. É esta decomposição da esfera de dimensão 3 em círculos que se chama fibração de Hopf.

Recordem que se X e Y são  dois conjuntos, uma aplicação f de X para Y, frequentemente anotada como  f : X→  Y, é uma regra que permite  associar a cada ponto x de X  um ponto f(x) em Y.

Por exemplo, pode-se considerar a aplicação de Hopf  f : S³ → S² que associa ao ponto (z₁, z₂) de S³ o ponto z₂/z₁ de S².

Isto precisa de duas explicações: 

Em primeiro lugar, um ponto de S³ é um ponto do plano de dimensão complexa 2, e pode ser descrito por dois números complexos (z₁, z₂).

Em seguida, vimos, por projeção estereográfica, que se se associar um ponto infinito a um plano, se obtém uma esfera S². E certamente, o número complexo z₂/z₁ só é bem definido quando z₁ não for nulo e se for nulo convenciona-se que z₂/z₁ é o ponto no  infinito, de modo que z₂/z₁ define bem um ponto de S².
 

Para cada ponto a de S², o conjunto dos pontos de S³ cuja imagem por f é o ponto a (isto é, a imagem inversa de a), que se chama a fibra acima de a, é um círculo de S³. Qual é a ligação com a explicação precedente: simplesmente que todos os pontos de uma reta z₂ = a.z₁  são tais que z₂/z₁ é constante (certamente dado que seja igual a  a!).

3. A fibração

O filme propõe de início observar de perto esta "fibração". Para cada a, temos um círculo em S³. Como visualizá-lo? Por projeção estereográfica certamente! Projeta-se a esfera S³ sobre o espaço de dimensão 3 tangente ao pólo oposto da projeção. Esta projeção é um círculo no espaço, que  pode ser admirado (recordem-se dos lagartos!). Certamente, pode acontecer que o círculo de S³ passe pelo pólo norte e então a sua projeção estereográfica é uma reta (isto é, um círculo ao qual falta um ponto…  que foi para o infinito!).

Várias sequências ilustram a fibração: 

Em primeiro lugar, mostra-se só um círculo de Hopf, associado a um valor de a. Este ponto a se desloca na esfera S²   (lembrem-se, a reta complexa mais um ponto no infinito) e vê-se o círculo que se desloca no espaço e que se torna uma reta de vez em quando, quando a passa pelo ponto no infinito.

Depois, mostra-se dois círculos de Hopf, associados à dois valores de a, que se deslocam igualmente. Na parte inferior da tela, vêem-se os dois pontos a que se deslocam e simultâneamente, os dois círculos. É aí, que se constata que os dois círculos são entrelaçados, como dois elos de uma corrente. Não se pode separá-los sem quebrá-los.

E novamente, mostram-se três círculos de Hopf para três valores de a que descrevem uma coreografia… Os círculos se afastam, se aproximam… 

Por último, se mostram muitos círculos de Hopf ao mesmo tempo. Valores de a são escolhidos aleatoriamente e desenham-se os círculos correspondentes que aparecem gradualmente. Pode-se assim "ver" que o espaço é preenchido pelos círculos e que estes círculos não se cruzam entre si. E também, se compreende a origem da palavra "fibração": todos os círculos se dispoem como as fibras de um tecido: localmente, são bem organizados como um pacote de espaguete. Este conceito de fibração, do qual o protótipo é a aplicação de Hopf, tornou-se central em topologia e física matemática. Certas fibrações são bem mais complicadas, sobre espaços de dimensões bem mais elevadas, mas é bem útil ter uma visão clara deste exemplo histórico! 

Pensar no plano real como uma reta complexa é útil, mas pensar num espaço de dimensão real 4 como um plano de dimensão complexa 2 é mais ainda!

4. A fibração ... continuação

Ver no filme: Capítulo 8: Fibração, sequência.

Para melhor compreender a fibração de Hopf  f : S³ → S²  pode-se considerar uma paralelo p de S² e em seguida a "imagem inversa" de p para f, isto é, o conjunto dos pontos de S³ cuja imagem, por f, é p.  Uma vez que  a  imagem inversa de cada ponto de S² (cada fibra) é um círculo de Hopf e que uma paralela é também um círculo, a imagem inversa de p é varrida por uma família de círculos que depende ela própria de um parâmetro pertencente ao círculo p. É então uma superfície em S³ da qual o filme mostra a projeção estereográfica no espaço de dimensão 3, como de hábito.

Quando o paralelo está muito próximo de um pólo de S² e que é então um círculo muito pequeno, a imagem inversa de p é um pequeno tubo, na vizinhança da fibra acima deste pólo. Quando o paralelo cresce progressivamente, torna-se o Equador, em seguida  diminui de novo para se aproximar finalmente do pólo oposto, o tubo engrossa progressivamente, em seguida diminui de novo e termina por ser um tubo muito fino. Estes tubos são toros em S³ mas não o observamos senão através das suas projeções no espaço de dimensão 3, de tal forma  que não parecem mais tão finos como quando passam perto do pólo  norte da esfera S³. 

Estritamente falando, um toro é a superfície de revolução no espaço obtido fazendo girar um círculo ao redor de um eixo que está no seu plano. Um ponto do toro tem duas coordenadas angulares: uma para descrever a posição sobre o círculo e outra para exprimir o ângulo que se fez ao girar o círculo. Notar-se-á  analogia com a longitude e a latitude. Seres que vivessem sobre o toro (e não sobre uma esfera, como a nossa Terra) também teriam inventado idéias de meridianos, paralelos, de longitude e latitude. 

De fato, os topólogos chamam frequentemente “toro" uma superfície que é "homeomorfa" a um toro de revolução, como uma caneca de café, por exemplo! Por isto que quando querem falar de um  toro obtido fazendo girar um círculo, precisam dizer toro de revolução.

Sobre um toro de revolução, vêem-se claramente duas famílias de círculos: os meridianos (em azul) e os paralelos (em vermelho). Agora, é um pouco mais difícil distinguir os meridianos dos paralelos. No caso da esfera,  era fácil: todos os meridianos passam pelos pólos, mas sobre o toro de revolução,  não há  pólos! Então, convencionou-se (mas isto é uma convenção) chamar de "méridianos" os círculos azuis porque eles se obtêm cortando os planos que contêm o eixo de simetria de revolução do toro, e chamar de "paralelos" os círculos vermelhos porque estão em planos paralelos perpendiculares a este eixo.

Uma pequena maravilha da geometria é que é possível traçar muitos outros círculos sobre um toro de revolução… Este capítulo explica como construí-los.

Lembrem-se da fórmula que exprime a projeção de Hopf. Em termos das coordenadas complexas, envia (z₁, z₂) sobre o ponto a=z₂/z₁ considerado como um ponto de S². Fixar um paralelo p em S²,  é fixar o módulo de um número complexo, de modo que a imagem recíproca de um paralelo é descrita por uma equação da forma 

Escolhamos por exemplo 1 para esta constante de modo que z₁ e z₂  tenham o mesmo módulo. Mas não esqueçamos que 

                                              |z₁|² + |z₂|² = 1,    

de modo que os módulos de z₁ e de z₂ sejam ambos iguais à √2/2. Assim, a imagem inversa deste paralelo é constituída de (z₁, z₂) onde z₁ e z₂ são escolhidos arbitrariamente sobre o círculo centrado na origem e de raio √2/2. Vê-se, então, que a superfície imagem inversa do paralelo é parametrizada por dois ângulos: é então um  toro, como o vemos no filme. Se se fixar z₁, obtém-se um círculo em S³, e se se fixar z₂ obtém-se outro círculo, mas não é possível para um toro de dimensão 4 distinguir entre paralelos e meridianos.

Quando se projeta estereograficamente este toro em um espaço de dimensão 3 a partir do pólo norte, de coordenadas (0,1), não é difícil verificar que a projeção do toro não é apenas homeomorfa a um toro mas que se trata com efeito de um toro de revolução. Revolução em redor de qual eixo? Simplesmente em redor da projeção estereográfica do círculo de Hopf que passa pelo pólo norte; esta projeção é efetivamente uma reta! Vemos então como um  toro de revolução pode ser interpretado como a imagem inversa de um paralelo pela aplicação de Hopf. 

Eis uma consequência desta interpretação: para cada ponto do paralelo p de S² escolhido, o círculo de Hopf correspondente está, certamente, contido neste toro de revolução. Acabamos então de encontrar  outros círculos sobre um toro de revolução…

Eis aqui algumas fórmulas. Considera-se então o toro de revolução no espaço que é obtido projetando      

                                                                                          |z₁| = √2/2 ;  |z₂| = √2/2

a partir do pólo norte (0,1)

Consideremos em seguida as aplicações que enviam (z₁, z₂) em (ω.z₁, z₂)  onde ω descreve o círculo dos números complexos de módulo 1. Notem que elas preservam a esfera S³ dado que os módulos de z₁ e de z₂ são preservados. Notem igualmente que estas aplicações deixam fixos os pontos da forma (0,z₂). Trata-se, com efeito, de rotações em um espaço de dimensão 4 "em volta" da reta complexa de equação z₁ = 0. Como esta reta passa pelo pólo de projeção (0,1), a sua projeção estereográfica não é um círculo mas  uma reta. Via projeção estereográfica, estas aplicações (dependente do parâmetro ω) definem tão somente as rotações do nosso espaço ao redor de uma reta. Mas certamente, estas transformações preservam também o toro de revolução que examinamos tão bem de modo que a reta z₁ = 0 corresponda ao eixo de revolução do toro!

Por conseguinte, o paralelo que passa por (z₁, z₂) é o conjunto dos pontos da forma (ω.z₁, z₂) onde ω descreve o círculo dos números complexos de módulo 1. Poder-se-ia também ver que o meridiano que passa por (z₁, z₂) é o conjunto dos pontos da forma (z₁, ω.z₂

O círculo de Hopf que passa por (z₁, z_{2 )} é o conjunto dos pontos da forma (ω.z₁, ω.z₂) (notem que se  se multiplicam z₁ e z₂  por ω, não se altera z₂/z₁ de modo que todos os pontos têm efetivamente a mesma imagem por f: são da mesma fibra). Não paremos em tão bom caminho: para cada ponto (z₁, z₂) pode-se também considerar o círculo “simétrico" de pontos da forma (ω. z₁, ω-1. z₂) que nos faz um quarto do círculo traçado sobre toro de revolução.

Acabamos de demonstrar que para cada ponto de um toro de revolução é possível fazer passar quatro círculos: um meridiano, um paralelo, um círculo de Hopf e o simétrico de um círculo de Hopf.

Este fato era conhecido há muito tempo. Em geral, fala-se dos círculos de Villarceau, do nome de um matemático do décimo nono século. Mas, o leitor já terá compreendido, é bem raro que em matemática um  teorema  seja devido àquele que lhe deu o nome, pois o processo de criação-assimilação é longo e complexo. Uma escada do museu da catedral de Estrasburgo, datando do século XVI mostra que não foi necessário esperar Villarceau para que os escultores soubessem recortar círculos sobre toros!

A segunda parte deste capítulo mostra os círculos de Villarceau, de uma maneira independente da fibração de Hopf. Partindo de um toro de revolução, corte-o por um plano bitangente para constatar que a secção é constituída de dois círculos.

Como mostrá-lo? É possível escrever equações e calcular… é possível, (ver aqui) mas pouco esclarecedor. Mas a geometria algébrica permite demonstrá-lo de maneira grandiosa, quase sem cálculo, com a condição de utilizar conceitos como os "pontos cíclicos". São pontos que além de estarem  no infinito, são imaginários! Vocês podem vê-los com a imaginação no infinito! Para uma prova do teorema de Villarceau com este tipo de idéias, ver este artigo.

Partindo de uma superfície no espaço de dimensão 3, pode-se considerá-la como uma superfície de S³,  juntando a ela um ponto no infinito. Dado que S³ é um esfera unitária no espaço de dimensão 4, pode-se  fazê-la girar por rotações quadri-dimensionais para em seguida projetá-la de novo estereograficamente no espaço de dimensão 3! Obtém-se outra superfície que se assemelha à primeira mas que é diferente! Se se partir de um toro de revolução, as superfícies assim obtidas são chamadas cíclides de Dupin e foram muito estudadas no século XIX. Dado que a projeção estereográfica transforma os círculos que não passam pelo pólo em círculos, a existência de quatro famílias de círculos sobre toros de revolução mostra que existem igualmente quatro famílias de círculos sobre as cíclides…

Tomado um toro de revolução no espaço de dimensão 3, visto como uma superfície em S³ que se faz girar progressivamente no espaço de dimensão 4, observada pela projeção estereográfica, vê-se um filme no qual uma cíclide de Dupin deforma-se pouco a pouco, e explode num certo momento quando passa pelo pólo de projeção, retornando, em seguida, ao seu ponto de partida. Mas poderá observar que os meridianos transformaram-se em paralelos e reciprocamente! e que  a face interna do toro tornou-se a face externa!

A geometria dos círculos no espaço é magnífica. Leva muitas vezes o nome de geometria analagmática. Haveria muito a dizer e mostrar!

5. Hopf e a homotopia

Para terminar esta página, eis algumas indicações rápidas sobre as motivações de Hopf, das quais não se fala, infelizmente, no filme.

Em topologia, consideram-se frequentemente as aplicações entre espaços topológicos X  e Y. Não daremos a definição aqui, mas poderá se pensar, por exemplo, que X e Y são esferas de dimensão n e p. Certamente, só discutimos até o momento, esferas de dimensão 0,1,2 e 3 mas saibam que a história não pára aí… Certamente, não haveria  grande  interesse em estudar  quaisquer aplicações e, por isso, se concentra nas aplicações contínuas, isto é, naquelas  tais que o ponto f(x) não varia muito se x varia pouquinho. Por exemplo, a aplicação que associa a um número real x o número +1 se x  não é nulo e -1 se x é nulo  não é contínua pois ela "salta" quando passa por 0. Mas a aplicação que associa a cada número x o seu quadrado x² é contínua: se alterar um pouco o número altera-se pouco o seu quadrado. Um dos problemas fundamentais em topologia consiste então em compreender as aplicações contínuas entre espaços topológicos, por exemplo, entre esferas.

Com efeito, o topólogo é menos exigente: procura compreender homotopias. Ainda uma palavra complicada que significa uma coisa simples! Suponham que se dispõe de duas aplicações f₀ e f₁ contínuas da esfera Sⁿ na esfera S^p. Diz-se que f₀ e f₁ são homotópicas se for possível deformar a primeira transformando-a na segunda. Em outras palavras, isso significa que existe uma família de aplicações f_t que depende de um parâmetro t, que é um número compreendido entre 0 e 1 e que conecta f₀ e f₁. Ainda mais precisamente, isso significa que se pode associar a cada x de Sⁿ e a cada número t compreendido entre 0 e o 1 um ponto f_t(x) que seja uma função contínua de x e de t de modo que para t=0 tenha-se  f₀ e para t=1 tenha-se  f₁.

Eis um exemplo. Uma aplicação f : S¹→ S²  é nada mais que uma curva fechada traçada sobre a esfera de dimensão  2 . A aplicação f₀  por exemplo poderia ser a que envia todos os pontos x de S¹ ao polo  norte: isto é o que se chama de uma aplicação constante. Quanto à aplicação f₁, poderia ser por exemplo a que envia o círculo S¹ sobre o Equador de S². Dizer que estas duas aplicações são homotópicas, é dizer que se pode deformar progressivamente o Equador para transformá-lo no pólo norte. É isto que se vê sobre a imagem à direita. De fato, é o que ocorre sempre neste caso: duas aplicações quaisquer de S¹ em S² são sempre homotópicas. O topólogo diz que todas as curvas traçadas sobre a esfera S²  são homotópicas às curvas constantes, ou ainda que S²  é simplesmente conexa. Também não seria difícil assegurar que a mesma coisa é verdadeira para as esferas S^p, de todas as dimensões superiores ou iguais a dois (olhem também esta página).

Uma aplicação entre S¹ e S¹ consiste em transformar cada ponto do círculo em um outro ponto do círculo, isto é, enrolar um círculo sobre um círculo. Tal aplicação tem um grau: que é simplesmente o número de voltas que ele faz. Por exemplo, a aplicação constante não gira de forma alguma: o seu grau é  0 . A aplicação identidade que envia todo ponto sobre ele mesmo, faz uma volta : o seu grau é 1. A aplicação que envia todo número complexo de módulo 1 sobre o seu quadrado duplica o argumento. Se se faz uma vez a volta do círculo, o quadrado faz duas voltas: o seu grau é 2. Quando se deforma uma aplicação, não se altera o seu grau (isto não é completamente evidente!), de tal modo que existem aplicações de S¹ em S¹ que não são homotópicas a aplicações constantes… É ligeiramente mais difícil ver que duas aplicações de mesmo grau são deformáveis entre si.

Mas quais são as aplicações entre S² e S²? É análogo ao caso de S¹ em S¹: pode-se também definir um grau, mesmo se não se trata de contar o "número de voltas" : trata-se agora de contar quantos vezes a imagem de f  "recobre" a esfera e isto não é fácil de definir. O exemplo mais simples é da identidade: a aplicação que associa a qualquer ponto ele mesmo: o seu grau é 1. Duvida-se efetivamente que não seja possível deformar a identidade da esfera S² para torná-la constante, sem rasgar a esfera. Mas ainda é necessário demonstrar!

A surpresa veio quando em 1931, Heinz Hopf mostrou que certas aplicações de S³ em S² não podiam ser deformadas continuamente em aplicações constantes. O seu exemplo é certamente a fibração de Hopf que acabamos de encontrar. Este exemplo é cada vez mais importante em matemática e, também em física.

A propriedade que duas fibras são entrelaçadas implica que é impossível deformar a aplicação de Hopf f: S3→ S2  numa aplicação constante. Seriam necessárias muitas explicações para dar uma justificativa convincente! Ver este livro para uma exposição completa mas difícil ou mesmo o artigo original de Hopf para uma prova e muito mais detalhes.

O que se sabe das aplicações entre Sⁿ e S^p com valores quaisquer de n e de p? Sabe-se  muita coisa, mas está longe de se saber tudo: as "classes de homotopia das aplicações entre esferas" permanecem um mistério!

Esta "fibração de Hopf" é uma das contribuições de Heinz Hopf. Ele marcou profundamente a matemática do século vinte.