Capítulo 9 : Prova

O matemátco Bernhard Rieman explica a importância das demonstrações em matemática. Ele demonstra um teorema sobre a projeção estereográfica.

1. A herança de Euclides

Este capítulo é um pouco especial... Poderia, de fato, ter sido visto depois do primeiro capítulo, mas pode-se também vê-lo de maneira independente do resto. Um bônus de qualquer forma  ! O objetivo é explicar com um exemplo como as demonstrações estão nos corações dos matemáticos.

Os matemáticos são gratos a Euclides por ter definido claramente as regras do jogo matemático. Talvez não se deva nenhum resultado especial a Euclides mas ele teve o gênio de propor um método para a matemática, compilando um dos maiores textos matemáticos de todo os tempos: os Elementos.

Este livro permaneceu uma referência incontestável durante quase 2000 anos! A originalidade do livro está na sua estrutura. Todos os enunciados, teoremas, proposições etc. dele são justificados completamente se apoiando sobre enunciados demonstrados anteriormente. Mas Euclides compreendeu bem que não se podia sempre demonstrar a partir de resultados precedentes: é necessário começar por algo (a menos que se escreva um livro de comprimento infinito!). É, então, importante no início do livro pôr-se de acordo sobre diversos fatos que se pede aos leitores para aceitarem sem prova. Estes enunciados são chamados axiomas ou postulados. A idéia de Euclides foi, então, começar por uma lista de axiomas e em seguida construir um edifício onde cada pedra descansa firmemente sobre as precedentes. Pode-se consultar uma das versões antigas aqui e os comentários lá.

Todos os enunciados, exceto os axiomas, devem então ser demonstrados: trata-se de explicar porque são verdadeiros e, para fazê-lo, pode-se lançar mão das regras da lógica e dos enunciados que já foram demonstrados ou dos axiomas que foram fixados no início. É o método axiomático. Certamente, não se podem escolher quaisquer enunciados como axiomas; por exemplo, não é possível escolher como axiomas dois enunciados contraditórios! A escolha dos axiomas não é fácil. A não contradição seria suficiente?  É evidente que a geometria que se ensina na escola, por exemplo, deve conter teoremas que são "verdadeiros" na realidade, de modo que os axiomas escolhidos devem ser em função da realidade física. Mas os matemáticos podem perfeitamente satisfazer-se de sistemas de axiomas não contraditórios mesmo que não sejam fisicamente verdadeiros. Um exemplo clássico é o da geometria não euclidiana que, como o seu nome indica, tem parte dos axiomas  diferentes dos de Euclides mas que é tão sólida quanto  a geometria euclidiana, e cujos teoremas não sejam, talvez, válidos para a física. Haveria certamente muito a dizer sobre este método axiomático.

2. Um teorema

Para ilustrar como funciona uma demonstração matemática, escolhemos um teorema que não é fácil! e do qual se poderia duvidar a priori... Nós já o enunciamos no capítulo 1.

Trata-se de um teorema muito antigo. Hiparco o conhecia? Será que ele o demonstrou? Difícil dizer.

A idéia de considerar a esfera S² como uma reta complexa à qual se associa um ponto no infinito frequentemente é atribuída a Bernhard Riemann (mesmo se for possível encontrá-la anteriormente…) : fala-se da esfera de Riemann. Este matemático é indiscutivelmente um dos mais criativos de todos os tempos e nos pareceu ser um personagem ideal para apresentar a demonstração deste teorema, a propósito de "sua" esfera!

A obra de Riemann é genial: graças a ele, pensamos  de modo diferente num grande número de conceitos matemáticos. Um exemplo apenas: ensinou-nos como pode ser útil pensar em uma curva algébrica no plano real, através da sua versão complexa no plano complexo, que se torna uma curva complexa, isto é uma superfície… É a teoria das superfícies de Riemann. Inútil lhes dizer que se trata, ainda, de uma das teorias mais bonitas.

Trata-se então de demonstrar que a projeção de um círculo que não passa pelo pólo norte é um círculo. Se quiséssemos fazer uma demonstração completa, seria necessário começar por explicar os axiomas, e demonstrar tudo gradualmente, em uma ordem lógica. Isto seria difícil e, sobretudo, muito longo! Difícil porque a escolha dos axiomas é bem delicada e é necessário dizer que a escolha de Euclides deixaria ligeiramente a desejar (mas isto foi há 2300 anos).

Uma escolha irrepreensível (até quando?) foi proposta por Hilbert no século vinte, mas não é fácil utilizar, sobretudo no ensino secundário (ver isto). No filme, é necessário então renunciar a uma axiomática completa e fazer "como se" demonstrássemos completamente este teorema, ainda que a nossa demonstração esteja sujeita a muitas críticas. Além disso, devemos supor que o espectador conhece já certos teoremas, como o teorema de Pitágoras, por exemplo, ou que já tenha compreendido uma demonstração.

Mais do que comentar a demonstração do teorema apresentado por Riemann no filme, que nos parece clara (se necessário, ver este artigo antigo ou esta página), preferimos comentar seus defeitos! O objetivo não é certamente mostrar que esta demonstração não está correta! Trata-se, em contrapartida, de explicar que frequentemente uma demonstração contém um caráter implícito e que é raro se tratar de uma dedução lógica completa. Demonstrar um teorema, quer seja na prática do matemático ou na do aluno do nível secundário, é essencial convencer o interlocutor que o enunciado é verdadeiro. Acontece que se utilizam argumentos (às vezes implicitamente) sem justificação, por saber que o ouvinte, o leitor, ou o espectador seria capaz de justificá-lo por si próprio.

Não esqueçamos que os matemáticos são seres humanos (!) e que a comunicação entre seres humanos não pode (ainda) ser inteiramente axiomatizada! Uma demonstração matemática pode ser escrita com todos os detalhes, mas é necessário dizer que bem rara são as pessoas que podem ler estas provas completas perfeitamente indigestas. Em contrapartida, a arte do matemático ou do professor é ser capaz de redigir ou apresentar uma demonstração que leve em conta a experiência matemática do seu interlocutor, que possa convencê-lo e que possa responder a todas as suas objeções.         

Quais são os “defeitos” e os “subentendidos” da prova apresentada?  Eis alguns:

- É evidente, por exemplo, que se pode sempre baixar uma perpendicular de um ponto sobre um plano? Foi demonstrado?

- É evidente que uma reta unindo o pólo norte a um ponto do plano tangente no pólo sul encontre a esfera em um outro ponto?

- A prova mostra que a projeção de um círculo está contida no círculo, mas mostra também que todo o círculo está nesta projeção?

São apenas exemplos, que poderiam ser demonstrados rigorosamente, por certo, mas os destacamos para alertar o espectador contra os subentendidos que estão quase sempre presentes em todas as provas.  O ideal da prova matemática completa é frequentemente inacessível  mas o matemático deve ter consciência disso para evitar os erros. Por isto se beneficia frequentemente da experiência dos erros do passado. Certas demonstrações podem, hoje, ser verificadas por computador, mas isto não substituirá nunca o prazer vivo que experimenta o matemático ou o aluno quando compreende um teorema, isto é, quando compreende porque é verdadeiro. Este prazer, é frequentemente a verdadeira motivação dos matemáticos!

Fazer matemática, é antes de tudo, demonstrar o que se afirma !