第九章：證明

數學家黎曼(Bernhard Riemann)將闡述數學中證明的重要性。他將證明一個關於球極投影的定理。

一、Euclid的遺產

這章有些特別……我們原可以把它放在第一章之後，但它可看作獨 立於其它章節的一章。一個額外的 主題！目的是說明證明是數學的核心。

Euclid 已經明確為數學遊戲定下了規則，這也使他成為了公認的數學家。Euclid並不占有數學的大多數成果，但是他編纂 幾何原本 時——一直以來最偉大的一本數學書之一——利用他的才華提出了一個數 學中的方法。

近2000年以來這本書是毫無疑問的參考！其原創性就在於它的結構。書中所有的陳述、定理、命題等都可由先前 所陳述的證明出來。Euclid他很清楚我們不能從先前的結果證明出所有的東西：必須從某事物開始（不能是一本無限厚的書！）。讀者必須接受一系列不加證 明的事實，被稱作 公理 或假設。Euclid的想法是從一系列公理開始，公理是建築的基石，而在此之上的每塊磚石都堅固地搭在下面的磚石之上。在 這裡 閱讀這本書的線上版本。

除了公理之外，所有命題都需要有證明，意即，需要有對於為什麽它們在這些邏輯規則、已經證明的命題與我們事先 設置好的公理之下得以成立之解釋。這是公理化方法。 很明顯並不是所有的命題都可以當做公理。例如公理選擇表裡不能容納兩個矛盾的公理！公理的選擇不容易。公理間不矛盾就足夠了嗎？很明顯在學校裡教的幾何必 須容納那些在現實中「正確」的公理。另一方面，數學家對一組無矛盾的公理，即使它們不反映真實世界，也相當感興趣。一個經典的例子是 非歐幾何，正如它名字所指示的，它從一組與Euclid不同的公理出發，也 如同歐氏幾何一樣協調，縱然它的定理在我們所知的真實世界中不合理。關於公理化方法可以說很多，但是讓我們繼續我們的特別的定理。

二、一個定理

為了闡述一個證明是如何實現，我們選了一個不是特別容易的定理，當然也不是不言自明的！我們已經在第一章陳述 了這個定理。

這是一個古老的定理。喜帕恰斯知道嗎？他證明了嗎？難說。

一般人們認為是 黎 曼 提出把球面 S² 看作帶無窮遠點的複線這個想法，球面也被稱作 黎曼球面（雖然這種想法在他之前就出現過）。毫無疑問他是當時最有創造力的 數學家。對我們來說他是闡述這個有關「他的」球面的定理的最佳人選！

黎曼的工作相當傑出：由於他，我們才對許多數學概念有了不同的想法。一個例子：他教我們通過對複平面上代數曲 線相應的複數形式也即複曲線或者說一個曲面，來研究實平面的代數曲線……這就是 黎曼曲面 理論。不用說，這個理論非常優美。

現在我們來證明不過北極點的圓的投影還是圓。為了做一個完整的證明，我們需先陳述公理，然後一點點地證明。這 很難，也非常長！困難在於公理的選擇頗為棘手，而Euclid的選擇也未必是最好的（但在2300年前曾是的）。

在二十世紀初Hilbert提出了一組無懈可擊的公理 選 擇 方案（直到何時？），但用起來不方便，尤其是在中學。影片中，我們需要拋棄完整的公理化證明，但「看起來」仍像是完整的，雖然我們的證明會導致一些批評。 我們也假設觀眾知道一些定理，如勾股定理，或甚至知道如何證明它。

我們不對影片中黎曼給出的證明發表評論，它是相當清晰的（如果需要，參見 這個頁面），取而代之我們討論它的缺點！我們的目的不是說明證明錯誤！我們要說明 一個證明通常有隱藏的特性，完整邏輯演繹的證明是很少見的。不論是於數學家的日常工作中，或者在中學課堂上，證明一個定理之重點皆在於：說服讀者或聽眾相 信我們說的是對的。在這過程中，有時人們常使用未加證明的命題，因為人們知道讀者/聽眾有能力證明它們。

畢竟，數學家也是人（！），人類之間的交流（尚且）不能是公理化的！我們可以寫下詳盡入微的證明但是很難找到 人願意讀它。數學家或教師的藝術是以考慮到讀者/聽眾的經驗為前提來寫下證明，以回答他們所有的質疑來說服他們。

這個證明的「缺陷」與「隱藏前提」是什麽？以下是一些：

- 可以從一點向平面做垂線這一點很明顯嗎？被證明了嗎？

- 從北極點出發經過與南極相切平面上一點的直線總會穿過球面這點明顯嗎？

- 證明說明了圓的投影包含在一個圓中，但是有没有說明整個圓在投影之中？

這只是一些例子（可以被嚴格證明），我們在此指出它們以說明幾乎所有的證明中都有一些隱藏前提。完全數學證明 的理想願望經常是無法實現的，但是數學家必須保持警惕以避免錯誤（而過往錯誤之經驗在這是有用的！）。如今證明可以被電腦驗證，但是這決不會取代數學家或 學生理解定理時感到的深深的喜悦：當他真正理解為什麽定理正確。這種喜悦經常是數學家真正的動力。

做數學歸根結底就是證明一個人所陳述的！