第九章 : 证明 

数学家 Bernhard Riemann将阐述数学中证明的重要性. 他将证明一个关于球极投影的定理.

1. Euclid的遗产

这章有些特别... 我们原可以把它放在第一章之后，但它可看作独立于其它章节的一章。一个额外的主题！目的是说明证明是数学的核心.

Euclid已经明确为数学游戏定下的规则, 这也使他成为了公认的数学家. Euclid并不占有数学的大多数成果, 但是他编纂Element（几何原本）时—— 一直以来最伟大的一本数学书之一——利用他的才华提出了一个数学中的方法, & amp; amp; amp; amp; amp; amp; nbsp;

近2000年以来这本书是毫无疑问的参考！其原创性就在于它的结构。书中所有的陈述、定理、命题等都可由先前 所陈述的证明出来。Euclid他很清楚我们不能从先前的结果证明出所有的东西：必须从某事物开始(不能是一本无限厚的书!) 。读者必须接受一系列不加证明的事实，被称作公理或假设。 Euclid的想法是从一系列公理开始，公理是建筑的基石，而在此之上的每块砖石都坚固地搭在下面的砖石之上。在这里阅读这本书在线版本。

所有的学生都期望公理被证实, 也即解释为什么使用这些逻辑规则、已经证明的命题与我们事先设置好的公理是对的.这是公理化方法。很明显并不 是所有的命题都可以当做公理. 例如公理选择表里不能容纳两个矛盾的公理! 公理的选择不容易.公理间不矛盾就足够了吗?很明显在学校里教的几何必须容纳那些在现实中“正确”的公理. 另一方面,数学家对一组无矛盾的公理，即使它们不反映真实世界，也相当感兴趣一个经典的例子是非欧几何, 正如它名字所指示的,它从一组与Euclid不同的公理出发,也如同欧氏几何一样协调, 纵然它的定理在我们所知的真实世界中不合理. 关于公理化方法可以说很多, 但是让我们继续我们的特别的定理.

2.一个定理

为了阐述一个证明是如何实现，我们选了一个不是特别容易的定理，当然也不是不言自明的！我们已经在第一章陈述 了这个定理。

这是一个古老的定理。Hipparchus知道吗？他证明了吗？难说。

一般人们认为是Bernhard Riemann 提出把球面S2 看作带无穷远点的复线这个想法，球面也被称作黎曼球面(虽然这种想法在他之前就出现过)。毫无疑问他是当时最有创造力的 数学家。对我们来说他是阐述这个有关“他的”球面的定理得最佳人选！

Riemann的工作相当杰出：由于他，我们才对许多数学概念有了不同的想法。一个例子：他教我们通过对复平 面上代数曲线相应的复数形式也即复曲线或者说一个曲面的研究，来研究实平面的代数曲线…这就是黎曼曲面理论。不用说，这个理论非常优美。

现在我们来证明不过北极点的圆的投影还是圆。为了做一个完整的证明，我们需先陈述公理，然后一点点地证明。这 很难，也非常长！困难在于公理的选择是任意的，而Eulid的选择也未必是最好的（但在2300年前曾是的）。

在二十世纪初Hilbert提出了一组无懈可击的公理选 择方案（直道何时？），但用起来不方便，尤其是在中学。影片中，我们需要抛弃完整的公理化证明，但看起来仍像是完整的，虽然我们的证 明会导致一些批评。我们也假设观众知道一些定理，如勾股定理，或甚至知道如何证明它。

我们不对影片中Riemann给出的证明发表评论，它是相当清晰的（如果需要，参见这个页面），取而代之我们讨论它的缺点！我们的目的不是说明证明错误！我们要说明 一个证明通常有隐藏的特性,完整逻辑演绎的证明是很少见的。证明一个定理，对于数学家的日常练习，或者在中学课堂，重点在于说服读者或听众相信我们说的是 对的。在这过程中，有时人们常使用未加证明的命题，因为人们知道读者/听众有能力证明它们。

毕竟，数学家也是人（！），人类之间的加交流不能是公里化的！我们可以写下详尽入微的证明但是很难找到人愿意 读它。数学家或教师的艺术是以考虑到读者/听众的经验为前提来写下证明,以回答他们所有的质疑来能说服他们。

这个证明的“缺陷”与“隐藏前提& amp; amp; amp; amp; amp; amp; rdquo;是什么？一下是一些：

-可以从一点向平面做垂线这一点很明显吗？被证明了吗？

-从北极点出发经过与南极相切平面上一点的直线总会穿过球面这点明显吗？

-证明说明了圆的投影包含在一个圆中，但是有没有说眀整个圆在投影之中？

这只是一些例子（可以被严格证明），我们在此指出它们以说明几乎所有的证明中都有一些隐藏前提。完全数学证明 理想愿望经常不实际，但是数学家必须保持警惕以避免错误（曾经错误的经历在这是有用的！）。如今证明可以被计算机验证，但是这决不会取代数学家或学生理解 定理时感到的深深的喜悦：当他真正理解为什么定理正确。这种喜悦经常是数学家真正的动力。

做数学归根结底就是证明一个人所陈述的！