Kapiteln 3 und 4: Die Vierte Dimension

Der Mathematiker Ludwig Schläfli spricht über Objekten in der vierten Dimension und zeigt uns eine Reihe von regelmäβiger Polyedern in vierter Dimension; sonderbare Objekte mit 24, 120 und sogar 600 Seiten!

1. Ludwig Schläfli und die andere 

Wir haben viel gezweifelt, um einen Ansager für dieses Kapitel zu wählen. Die Idee der vierten Dimension ist nicht Folge von einem einzigen Mann und viele kreative Geiste sind nötig gewesen, um sie in der Mathematik zu verstehen und zu begründen. Unter den Vorläufern können wir Riemann erwähnen. Er wird der Ansager des neunten Kapitels sein und hatte zweifellos eine sehr genaue Idee der vierten Dimension seit Mitte des 19. Jahrhunderts. 

 Wir haben Ludwig Schläfli (1814-1895) das Wort erteilt, teilweise, um uns an diesen originalen Geist, der heutzutage sogar unter den Mathematiker fast vergessen ist, zu erinnern. Er war einer der Ersten, denen bewusst worden ist, dass wir uns den vierdimensionalen Raum vorstellen können, und dass wir Geometrietheoreme bezüglich vierdimensionaler mathemathiken Objekten beweisen können, selbst wenn unsere physischer Raum ein dreidimensionaler Raum aussieht. Für ihn, die vierte Dimension war eine reine Abstraktion, aber es besteht keine Zweifel, dass er nach seine jahrelange Untersuchung sich besser in der vierten Dimension als in der dritten Dimension fühlte. Sein Hauptwerk trägt den Titel „Theorie der vielfachen Kontinuität” und wurde im 1852 publiziert. Man muss zugeben, dass wenige Leser die Wichtigkeit dieses Buches zu seiner Zeit bewertet haben. Es ist nötig gewesen, bis auf den Beginn des 20. Jahrhunderts zu warten, damit die Mathematiker den Nutzen solches groβartigen Werkes verstünden. Für weitere Informationen über Schläfli, sehen Sie hier und dort (auf Englisch). 

Sogar unter den Mathematiker, die vierte Dimension ist für langer Zeit geheimnisvoll und unmöglich gehaltet worden. Für das allgemeine Publikum ruft oft die vierte Dimension Sciencefictionromane hervor, in denen parapsychologische Phänomene geschehen, oder die Relativitätstheorie Einsteins: „die vierte Dimension ist die Zeit, oder?“. Das heiβt mathematische und physiche Fragen verwechseln. Wir werden  weiter vorne das Thema kürzlich wieder aufnehmen. Zuerst versuchen wir das, die Idee der vierten Dimension zu begreifen, sowie Schläfli macht, als Werk des Geistes.

2. Die Idee von Dimension

Schläfli erinnert uns an Dingen, die wir im vorigen Kapitel gesehen haben, und dafür nutzt er eine Tafel. Eine Gerade hat 1. Dimension, weil die Lage eines Punktes auf einer Gerade nur durch eine Zahl beschrieben ist. Es handelt sich um die Abzisse eines Punktes, behaftet mit einem Minus, falls der Punkt links von Ursprung liegt oder mit einem Plus, falls er rechts davon liegt.

Schläfli erinnert uns an Dingen, die wir im vorigen Kapitel gesehen haben, und dafür nutzt er eine Tafel. Eine Gerade hat 1. Dimension, weil die Lage eines Punktes auf einer Gerade nur durch eine Zahl beschrieben ist. Es handelt sich um die Abzisse eines Punktes, behaftet mit einem Minus, falls der Punkt links von Ursprung liegt oder mit einem Plus, falls er rechts davon liegt.

Die Tafeleben ist also zweidimensional, weil man zwei senkrechte Geraden zeichnen kann, damit jeder Punkt durch zwei Zahlen beschrieben werden kann: sie sind die Abszisse und die Ordinate. In dem Raum, wo wir leben, können wir eine dritte Gerade zeichnen, die senkrecht  auf die Tafel steht, um die andere zwei Achsen zu ergänzen. Na ja, es ist ein bisschen komisch, über eine Kreide verfügen, die Geraden aus der Taffel schreibt, aber, denn wir ja zum vierten Dimension abreisen wollen, brauchen wir zauberhafte Kreide!

Ein Raumpunkt wird daher durch drei Zahlen beschrieben, die fast immer x, y und z gennant werden, und deshalb hat unserer Raum drei Dimensionen. Natürlich würde es ganz toll sein, so fortsetzen zu können, aber es ist nicht möglich, eine vierte Achse, senkrecht auf die vorige drei Achsen zu zeichnen. Das ist keine Überraschung, weil unserer physiche Raum 3. Dimension hat, und wir suchen die vierte Dimension nicht da, sondern in unserer Vorstellungkraft…

Schläfli schlägt einige Lösungen vor, damit wir uns eine Idee zu der vierten Dimension bilden. Es gibt verschiedene Methoden, wie es auch viele Methoden gab, um die ebene Echsen die dritte Dimension zu erklären. Diese Methoden werden uns ermöglichen, einen flüchtigen Blick auf die vierte Dimension zu werfen.

Die erste Methode ist am pragmatischten. Wir können einfach sagen, dass ein Punkt im vierdimensionalen Raum genau durch die vier Zahlen x, y, z und t gegeben wird. Dies ist nicht sonderlich erhellend, und das ist ein Nachteil, aber es ist ein ganz logisches Verfahren und die Mehrheit der Mathematiker sind damit zufrieden.
  Wir können auch gewöhnlicher Definitionen in 2 und 3 Dimensionen abschreiben, um vierdimensionalen Objekten beschreiben zu können. Zum Beispiel, können wir die Definition von Ebene abschreiben, und dann nennen wir die Menge aller Punkte x, y, z, t, die die lineare Gleichung ax + by + cz + dt = e entsprechen, eine (Hyper-)Ebene. Man kann mit diesen Definitionen eine feste Geometrie entwickeln, Theoreme beweisen, usw. Es ist eigentlich die einzige Weise, hochdimensionale Räume ernst handzuhaben.
  Ziel dieses Films ist es, nicht “zu ernst” zu sein, sondern die vierte Dimension anstellen, wie einige Mathematiker sie ahnen.

Schläfli zeigt uns eine Methode, die die Analogie verwendet. Die Idee ist die Dimensionen 1, 2 und 3 zu untersuchen, um bestimmte Phänomene anzumerken, und dann muβ man vermuten, dass diese Phänomene auch in der vierten Dimension geschehen. Es ist ein schwieriges Spiel, dass nicht immer funktioniert. Eine Echse, die ihrer Ebene entrinnt und im dreidimensionalen Raum eintritt, wird überrascht, und wird Zeit brauchen, um sich daran zu gewöhnen. Dasselbe passiert mit einem Mathematiker, der mit Analogien im vierdimensionalen Raum eintritt… Das Beispiel Schläflis ist die Folge: „Geradensegment, gleichsenkliges Dreieck, Tetraeder”. Es gibt eine Analogie zwischen diesen Objekten; es ist klar, dass der Tetraeder die Entsprechung zum gleichsenkligen Dreieck in 3. Dimension ist.

Und dann, welches Objekt entspricht dem Tetraeder in der 4. Dimension?

Die Geradensegment besitzt zwei Eckpunkte und ist in 1. Dimension. Das Dreieck besitzt drei Eckpunkte und es hat 2. Dimension. Der Tetraeder besitzt vier Eckpunkte und es hat 3. Dimension. Man neigt zu denken, dass es ein Objekt in 4. Dimension gibt, das fünf Eckpunkte besitzt und dass die Reihe fortsetzt. Wir sehen auch, dass bei den Kanten, dem Dreieck und dem Tetraeder sind zwei Eckpunkte jeweils durch eine Kante verbunden. Wir müssten die 5 Eckpunkte paarweise verbinden, aber machen wir uns keine Sorge darum, in welchem Raum machen wir die Zeichnung, und dann zahlen wir 10 Kanten. Nun die Seiten:  bei unserem Objekt berandet jedes Tripel von Ecken eine dreieckige Seite. Wir sehen auch zehn. Jetzt müssen wir auch ein Tetraeder für jedes Viertupel von Ecken einfügen. Das fertigkonstruierte Objekt ist nicht sehr deutlich… Wir kennen seine Ecken, Kanten, Seiten, dreidimensionale Seiten, aber wir können es nicht sehen. Der Mathematiker redet über Kombinatorik, damit beschreibt er was wir haben: wir wissen welche Kanten welche Ecken verbinden, aber wir haben keine geometrische Aufbildung des Objektes. Das Objekt, dessen Dasein wir vorgesagt haben, und das die Folge „Geradensegment, Dreieck, Tetraeder“ fortsetzt wird „Simplex“ gennant.

3.  Die Polyedern Schläflis

Die Vielecken werden in der Ebene gezogen und so werden die Polyedern im Raum. Die Entsprechungen in der vierten (oder mehr!) Dimension im Allgemeinen Polytopen gennant, obwohl sie werden auch oft Polyedern gennant, ohne weiteres.
  

Sowie Platon über die regelmäβige Polyedern im Raum redete, beschrieb Schläfli alle die regelmäβige Polyedern in 4. Dimension. Einige haben einen unvorstellbaren Reichtum, den der Film der dreidimensionalen Zuschauern (wir alle) zu zeigen versucht. Er macht so, als er die Platonische Polyedern zu den Echsen zeigte, eher er einen Blumenstrauβ oder ein Buch vorstellt (offen gesagt, die Autoren des Filmes würden gern einen Blumenstrauβ in Dimension 4 uns zeigen, aber das ist leider nicht möglich!). Hier einer der schönsten Beitragen Schläflis: die genaue Beschreibung der sechs regelmäβigen Polyedern in der vierten Dimension. Da ja sie 4. Dimension haben, haben sie Ecken, Kanten, Seiten und dreidimensionale Seiten. In der folgende Tafel können sie die Namen jedes Polyeders lesen, sowie seine Ecken, Kanten, Ebene und dreidimensionale Seiten.
  

Das wird sehr nützlich sein, um Ihnen veranzuschaulichen, sehen Sie hier oder hier, oder auch hier.

4. In 4. Dimension „sehen“

Wie können wir in 4. Dimension sehen? Wir haben leider keine „4D Brille“, aber es gibt andere Weisen.

Die Methode der Schnitte :

Zuerst können wir wie die Echsen tun. Wir sind in unserem dreidimesionalen Raum und wir stellen uns vor, dass ein Objekt unseren Raum nach und nach durchdringt.

Nun ist die Schnitte kein Vieleck, sondern ein Polyeder, das sich verformt. Wir können eine intuitive Schätzung der Form des Polyders machen. Dafür müssen wir die Schnitte, die nach und nach sich verformen und schlieβlich verschwinden, beobachten. Das Objekt umzufassen ist nicht leicht: es ist schwieriger für uns als für die Echsen… 

Im Film machen wir uns mit drei Polyeder vertraut: nämlich das Hyperwürfel und die sogenannte „120“ und „600“. Sie schneiden unseren Raum und stellen die Schnitte aus, die verformende dreidimensionale Polyedern sind. Beeindruckend! Trotzdem es ist nicht leicht zu verstehen.

Rechts sehen Sie die „600“, die unseren dreidimensionalen Raum durchdringt. 

Da ja es ist nicht leicht, die vierte Dimension zu verstehen, es ist nicht nutzlos, sich ergänzende Methode zu bedienen.

Die Methode der Schatten :

Die andere im Film gezeigte Methode ist verständlicher als die von der Schnitten. Die konnten wir auch mit den Echsen verwendet haben. Das macht der Künstler, der eine dreidimensionale Landschaft mit seiner zweidimensionalen Leinwand vorstellen will. Er projiziert das Bild auf seine Leinwand. Zum Beispiel, er kann ein Strahlenbündel hinter das Objekt legen und den Schatten auf seine Leinwand beobachten. Der Schatten verschafft nur unvollständige Information über das Objekt, aber wenn wir das Objekt im Licht drehen, dann sehen wir den verformenden Schatten und können wir ein ganz genaues Bild der Gestalt des Objektes aufbauen. Das ist die Kunst der Perspektive. 

Hier ist es dasselbe: wir können bedenken, dass das vierdimensionale Objekt, das wir darstellen wollen, ein Scheinwerfer dahinter hat, der sein Schatten auf unseren dreidimensionalen Raum projeziert. Dreht sich das Objekt, so der Schatten verformt sich und wir stellen uns die Gestalt des Objektes vor, selbst wenn wir es nicht sehen können.

 Zuerst sehen wir das Hyperwürfel, offensichtlich deutlicher als die Schnitte.

Danach die „24“, auf die Schläfli unserer Meinung nach am stolzen war. Der Grund ist es, dass der Neuling echt neu ist, er ist gar keine Entsprechung zu einen dreidimensionalen Polyeder, wie die anderen. Auβerdem hat er die wunderbare Eigenschaft, selbstdual zu sein: er hat zum Beispiel so viele ebene Seite wie Kanten, und so viele dreidimensionale Seiten wie Ecke.

Diese neue Aussicht stellt uns andere Aspekte der vierdimensionalen Polyeder vor, die offensichtlich kompliziert sind. Beide Methoden, die Schnitte und die Schatten, haben viele Vorteile, aber man muβ zugeben, dass sie die ganze Gleichmäβigkeit, die alle diese herrliche Objekten anbieten nicht zeigen.

 Im folgenden Kapitel werden wir eine andere Methode nützen, nämlich die stereographische Projektion. Vielleicht ist sie erhellender.

5. In Dimension 4 „zu sehen“: die stereographische Projektion. 

(sehen Sie das vierte Kapitel des Films: die vierte Dimension, Fortsetzung)

Schläfli bietet eine letzte Methode an, um vierdimensionale Objekten uns vorzustellen. Sie ist einfach die stereographische Projektion. Trotzdem handelt es sich natürlich nicht um die Projektion, die Hipparch uns im 1. Kapitel gezeigt hat.

Stellen wir uns vor, dass wir im vierdimensionalen Raum sind und wir eine Sphäre betrachten. Um sie zu definieren, nützen wir die gewöhnliche Definition: sie ist die Menge all jener Punkte, die gleichen Abstand zu einen Mittelpunkt haben, der Zentrum genannt wird. Wir wissen, dass die Sphäre, die der dreidimensionalen Raum enthält, zweidimensional ist, weil jeder Punkt auf die Sphäre durch seinem Längen- und Breitengrad bestimmt ist. Gewissermaβen können wir sagen, dass die Sphäre im dreidimensionalen Raum nur 2. Dimension hat, weil sie eine Dimension „mangelt“, nämlich die Höhe über der Sphäre. Gleichfalls hat die Sphäre im vierdimensionalen Raum 3. Dimension und ihr „mangelt“ auch eine Dimension, die nochmals die Höhe über der Sphäre ist.

Was ist die Sphäre in einer Ebene, das heiβt, in einem zweidimensionalen Raum? Sie ist die Menge all jener Punkte, die gleichen Abstand zu einem Zentrum haben, nämlich ein Kreis. So ein Kreis ist eine Sphäre in einem zweidimensionalen Raum, und er hat 1. Dimension, da es nur ein Zahl nötig ist, um ein Punkt des Kreises zu bestimmen.

Noch überraschender: was ist eine Sphäre in einem eindimensionalen Raum, das heiβt, in einer Gerade? Sie ist die Menge all jener Punkte, die gleichen Abstand zu einem Zentrum haben. Es gibt nur zwei Punkte, einer links und der anderer rechts. So die Sphäre im eindimensionalen Raum enthält nur zwei Punkte. Kein Wunder, dass sie Nulldimension hat.

Kurz und gut: Im n-dimensionalen Raum hat die Sphäre n-1 Dimension. Deshalb nennen sie die Mathematiker  S^n-1.

 Der Beginn des Kapitels erzählt, was die S³ Sphäre ist, aber na ja, nicht einmal Schläfli kann sie uns zeigen. Höchstens kann er uns eine S2 Sphäre zeigen und uns ermutigen, dass wir uns die S³ Sphäre vorstellen, als ob wir im vierdimensionalen Raum wären. Die von Hipparch vorgestellte stereographische Projektion projeziert die S² Sphäre auf die am Südpol Tangentialebene. Wir können so mit der S³ Sphäre verfahren. Wir nehmen den am Südpol der S³ Sphäre Tangentialraum, der dreidimensional ist, und nun können wir jeden Punkt der S³ Sphäre, mit Ausnahme des Nordpols, auf unseren Raum abbilden. Es genügt, die Gerade, die den Nordpol mit dem Punkt verbindet, zu verfolgen, bis sie den am Südpol Tangentialraum trifft. Die Konstellation ist völlig analog zu der früher gesehene, selbst wenn dieses ein vierdimensionales Verfahren ist. 

Vermuten wir, dass Schläfli ein vierdimensionaler Polyeder uns zeigen will. Er wird so fortfahren, wie es wir mit den Reptilien gemacht haben. Er wird ihn zu einer Sphären aufblasen, bis er auf die Sphäre abgebildet ist. Nun kann er auf den am Südpol Tangentialraum, der „unsere“ Raum ist, stereographisch projizieren, und so können wir die Projektion sehen.

Wir können auch die S³ Sphäre drehen und dann runterprojizieren, und der Tanz des Polyeders beobachten. Wir bemerken, dass wenn wir die Sphäre drehen, von Zeit zu Zeit eine Seite den Projektionspol trifft und die Projektion unendlich groβ wird. Es scheint als ob sie auf den Bildschirm explodieren würde. Wir haben derselben Eindruck wie im 2. Kapitel, wenn die Polyedern auf die Ebene projiziert wurden.

Das wird im 4. Kapitel vorgeschlagt: die Polyedern Schläflis stereographisch projizieren und sie gleichzeitig drehen…

Die Geometrie des vierdimensionalen Raums ist nur der Anfang, weil es die Fünfte, die Sechste, und selbst die unendliche Dimension gibt! Sie, die anfänglich als reine Abstraktionen betrachten wurden, sind nun im modernen Phisik weit genützt. Die Relativitätstheorie Einsteins postuliert, dass der Raum und die Zeit miteinander zu einer vierdimensionalen Raumzeit verbunden sind. Ein Punkt in dieser Raumzeit ist ein Ereignis, das durch seine räumliche Lage x, y, z und durch den Augenblick t, zu dem es stattfindet charakterisiert wird.

Die Kraft der Relativitätstheorie ist es, diese vier Koordinaten gewissermaβen vermischen zu können, ohne die Zeit und den Raum qualitativ zu unterscheiden, und so verlieren sie ihre Eigenart. Wir werden hier diese Theorie nicht erklären, weil Schläfli sie unter anderem nicht kannte. Die Theorie Einsteins stammt aus 1905, ziemlich später als die Entdeckung der vierten Dimension. Es ist nicht das erste Mal, nicht auch das Letzte, wenn der Physik und der Mathematik aufeinander wirken, jede mit seinen Methode, mit verschiedene Zielen und Begründungen, aber trotzdem so ähnlich…

Andererseits, die aktuelle Physik redet über Räume, die 10. Dimension oder mehr haben, und die Quantumphysik arbeitet in einer unendlichen Dimension, nicht wahr? Man wird noch warten müssen, bis zu wir einen Film über zehndimensionale Räume drehen...