Capitulo 1 : a dimensão dois

1. O apresentador

Hiparco é o primeiro herói da nossa história. Não é necessário tomar demasiadamente a sério o que ele nos diz! Afirma ser o fundador da geografia e astronomia. É um pouco exagerado. Quem pode se elogiar a tal ponto? Os viajantes não descreveram sempre as suas viagens e os pastores não admiraram sempre as estrelas? É bem raro que um só indivíduo possa criar uma ciência... Mas façamos justiça  a Hiparco, foi um dos  grandes cientistas da Antiguidade.

Conhece-se  pouco sobre a vida de Hiparco. Nasceu em 190 a.C. e morreu por volta de 120  a.C. Pode-se  consultar este artigo para uma curta descrição ou ainda este sítio para uma biografia mais desenvolvida. Em todo o caso, não há nenhuma dúvida que o nosso cientista foi um dos primeiros a estabelecer catálogos de estrelas e a medir as posições sobre a esfera celestial com uma precisão surpreendente. A comunidade dos astrônomos prestou-lhe uma homenagem batizando com seu nome uma cratera sobre a Lua. Citemos Hergé em  Andou sobre a Lua: " le cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clowns, donc vous ne pouvez pas faire l'affaire......"(“O circo de Hiparco não necessita de palhaços, então não se pode fazer o espetáculo ...” 

O segundo papel neste capítulo é desempenhado por Ptolomeu que viveu três séculos depois dele, entre 85 e 135 d. C. . Ele também foi grande astrônomo e geógrafo, se inspirou nos trabalhos de Hiparco, mas os historiadores não parecem estar de acordo sobre a importância desta influência. Ptolomeu não seria apenas continuador de Hiparco? Pergunta difícil que deixaremos aos especialistas.

Para uma biografia de Ptolomeu, ver isto, e para uma análise mais detalhada, pode-se consultar este sítio. Tranquilizem-se, Ptolomeu tem também a sua cratera sobre a Lua!

2. Longitude et latitude

Que aprenderemos de  Hiparco e Ptolomeu neste primeiro capítulo? A noção do que se chama hoje um sistema de coordenadas.

A Terra é redonda. Sabe-se desde há muito, muito tempo e, antes mesmo que se fizesse a volta em torno dela, astuciosos geômetras gregos tinham encontrado o meio para medir o seu perímetro, sem se enganarem muito (ver por exemplo esta página).

A Terra dá uma volta por dia em redor de um eixo que liga dois pontos que se chamam  pólos norte e sul. Dá igualmente uma volta em redor do Sol por um ano, mas nem Hiparco nem Ptolomeu sabiam isso, dado que pensavam o contrário: que é o Sol que gira em redor da Terra... Foi necessário esperar Copérnico, no décimo sexto século, para que se começasse a adivinhar que é a Terra que gira em redor do Sol.

A determinação precisa da forma da Terra tomou muito mais tempo e foi só há algumas dezenas de anos que foi possível medir as dimensões até os centímetros!  E a Terra não difere muito de uma esfera: certamente ela é um pouco achatada nos pólos  mas o raio polar (6 356 km) e o raio equatorial (6 378 km) não diferem muito. Olhem esta página (em inglês) para saber mais.

Então, Hiparco nos convida a fazer como se a Terra fosse exatamente uma esfera e nos explica, em seguida, rudimentos da geometria esférica. Por definição, uma esfera é o conjunto dos pontos do espaço que estão à mesma distância de um ponto que se chama o seu centro. Uma reta que passa pelo centro de uma esfera corta a esfera em dois pontos; é um eixo de simetria para a esfera. Se se escolher tal reta, pode se pensar nela como o eixo de rotação da Terra, e os dois pontos de interseção então são chamados os pólos norte e sul.

Um plano que passa pelo centro de uma esfera encontra essa esfera num círculo que se chama grande círculo, e que decompõe a esfera em dois hemisférios. No caso específico onde este plano que passa pelo centro é perpendicular ao eixo escolhido, fala-se do plano do Equador, e os hemisférios são chamados austral (ao Sul) e boreal (ao norte). Um plano que contém o eixo corta a esfera sobre um grande círculo que passa pelos dois pólos. Estes círculos são constituídos de dois semi-círculos que se juntam aos pólos: chamam se  meridianos. Todo ponto sobre a Terra, com exceção dos pólos, é situado sobre um só meridiano. Dado que supomos que a Terra é uma esfera, todos os meridianos têm o mesmo comprimento: a distância  que é necessário percorrer ao longo da Terra se se quer viajar do pólo Norte ao pólo Sul, ou seja 20.000 km (mais ou menos).

Entre todos os meridianos sobre a Terra, um entre eles serve de origem; é o que passa pelo observatório de Greenwich na Inglaterra, mas poderia ter sido outro (e o francês teria gostado muito que fosse o que passa por Paris!). Os outros meridianos são descritos por um ângulo (ilustrado em vermelho sobre a figura inferior) que se chama a sua longitude. A tradição geográfica pede que se meça este ângulo entre 0 e 180 graus, a leste ou  a oeste do meridiano de Greenwich.

Cliquem na imagem à esquerda para um filme.

Os planos perpendiculares ao eixo cortam a esfera em círculos que se chamam paralelos. Chamam-se assim, talvez porque não se cortam, como retas paralelas... Os paralelos são ainda menores porque que estão próximos dos pólos. O Equador é um paralelo particular, a meio caminho entre os dois pólos; é o maior dos paralelos. Os outros paralelos podem ser ao norte ou ao Sul do Equador, e são descritos por um ângulo ilustrado sobre a figura em verde; é a latitude.

Cada ponto da Terra, com exceção dos pólos, está situado na interseção de um paralelo e de um meridiano e pode-se então atribuir-lhe uma longitude e uma latitude; são as coordenadas geográficas do ponto. Reciprocamente se tivermos uma latitude e uma longitude, pode-se encontrar o ponto...

A coisa importante que é preciso lembrar é que para descrever um ponto sobre a superfície da Terra, são necessários dois números e que é por esta razão que se diz que a superfície da Terra é de dimensão 2. De resto, para um matemático, uma superfície é um objeto de dimensão 2; pode ser a superfície da Terra mas também o plano de uma mesa, ou a superfície de um bola de rugby.

Mas vivemos sobre a superfície da Terra apenas em primeira aproximação! Se tomarmos um avião por  exemplo... Então, os dois números latitude e longitude não mais são suficientes para precisar a nossa posição. É preciso ainda dizer em qual altitude estamos. São necessários, por conseguinte, três números para descrever um ponto no espaço e diz-se que o espaço é de dimensão 3. Voltaremos a este ponto mais tarde...

3. Projeções

Na segunda parte deste capítulo, Hiparco nos explica uma das grandes idéias matemáticas, que se chama projeção. A Terra é redonda,  mas gostaríamos de representá-la sobre um plano, sobre uma folha de papel por exemplo, para fazer um mapa que se possa inserir num atlas.

Há muitos métodos para cartografar a Terra. O princípio geral é escolher uma zona sobre a Terra e associar a cada ponto p desta zona um ponto F (p) no plano. Assim representou-se a zona em questão numa parte do plano. Escolher a representação F é a arte do cartógrafo que procura privilegiar tal ou tal característica. O ideal seria que o mapa fosse isométrico, ou seja, que se possa medir a distância entre dois pontos p, q medindo a distância entre suas representações F (p) e F (q). Infelizmente, estes mapas ideais não existem e é necessário fazer concessões. Certos mapas procuram representar fielmente as superfícies, por exemplo. A cartografia é um assunto apaixonante que tem uma longa história, frequentemente paralela à da matemática, e que tem feito progressos consideráveis recentemente, em especial graças às medidas precisas e à informática. Eis por exemplo dois sítios que podem servir de ponto de partida para um estudo desta ciência.

O mapa que Hiparco nos apresenta tem um nome sábio: a projeção estereográfica. De fato, é necessário dizer que não serve muito aos atlas de hoje, exceto quando se trata de representar as zonas polares. Mas veremos gradualmente durante o filme que esta projeção tem um interesse matemático considerável e que é bem prática.

A sua definição é muito simples. Considera-se o plano P tangente à Terra no pólo sul. Para cada ponto p da esfera, diferente do pólo norte, pode-se traçar a reta pn que une p ao pólo norte. Esta reta encontra o plano tangente P em outro F (p). A projeção estereográfica é então uma representação da esfera, sem o pólo norte, no plano P. 

Quem inventou esta projeção? Ainda um debate histórico complicado... Alguns falam de Hiparco, outros de Ptolemeu e, por último, outros afirmam que Hiparco efetivamente inventou esta projeção, mas que não conhecia as suas propriedades.

Esta projeção tem três propriedades essenciais, muito ligadas entre si.

A primeira, largamente ilustrada no filme, é que a projeção transforma um círculo traçado sobre a esfera num círculo ou numa reta do plano. Se tiver a paciência de esperar o último capítulo, compreenderá porquê

Para mostrar bem isto, Hiparco diverte-se em fazer rolar a Terra no plano tangente ao pólo sul. Então, não é mais o Sul que está em contato com o plano e não é mais a partir do pólo norte que ele projeta, mas continua sempre a projetar a partir do ponto "o mais alto possível" sobre o plano tangente no ponto "mais baixo". Uma rotação hipotética, pouco razoável, mas que dá projeções bem bonitas.

Cliquem na imagem à esquerda para um filme.

A segunda, que não é ilustrada no filme, é que a projeção respeita os ângulos. Isto quer dizer que tomando duas curvas sobre a esfera que se cortam num ponto com certo ângulo, as projeções dessas curvas vão cortar-se num mesmo ângulo. Vê-se sobre a imagem à esquerda que as projeções dos meridianos e dos paralelos se cortam num ângulo reto, como se cortam num ângulo reto sobre a esfera. Bem prático para um navegador que mede o rumo da sua trajetória e gostaria bem de que os ângulos que ele mede fossem exatamente os mesmos sobre o seu mapa.

A terceira, é que ainda que não conseguisse o ideal de preservar as distâncias, faria "o melhor". Tomem um ponto p sobre a esfera e considerem uma região R muito pequena em redor de p. A projeção estereográfica transforma a região R numa região F (R) em redor do ponto F (p). Quanto menor R mais F respeita a forma de R. Isto significa o seguinte: existe uma constante k, que se pode chamar a escala do mapa em R, que se q₁  e q₂ são dois pontos de R, a razão das distâncias entre q₁ e q₂ (na esfera) e F (q₁) e F (q₂) no plano é quase igual a k. O que quer  dizer este "quase"? Que esta razão estará tanto mais próxima de k quanto R se torna pequeno. Para além da formulação matemática precisa, isto quer dizer que o mapa respeita as formas das pequenas áreas. É por isto que se diz que é conforme. É a principal qualidade da projeção estereográfica: é quase perfeita para um usuário que a utilizar apenas na sua vizinhança!

Após esta primeira viagem, lembrem da lição de Hiparco: a esfera é de dimensão 2 porque é possível descrever os seus pontos através de duas coordenadas, latitude e longitude, e é bem prático representá-la num plano graças à projeção estereográfica...

Tudo isto nos será muito útil para explorar a terceira dimensão e em seguida a quarta!