Capitulo 1 : la primera dimensión
Hiparco explica
cómo dos números permiten describir la
posición de un punto sobre una esfera.
También
explica la proyección
estereográfica: ¿Cómo se
puede dibujar la Tierra sobre una hoja de papel?
Hiparco
es el primer héroe de nuestra historia. ¡Pero no
hay que tomar muy en
serio lo que dijo! Él afirma ser el fundador de la
geografía y de la
astronomía. Esto es exagerar un poco.
¿Quién puede jactarse de esta
manera? ¿Acaso los viajeros jamás han descrito
sus viajes, o los
pastores nunca admirado las estrellas? Es raro que un solo individuo
haya podido crear una ciencia... Pero poco importa, rindamos honores a
Hiparco, uno de los grandes sabios de la Antigüedad.
Se
conocen muy poco sobre la vida de Hiparco. Nació alrededor
de 190 A.C.
y murió hacia el año 120 A.C. Se puede
consultar este
artículo para obtener una descripción
corta de su vida o bien éste,
si se quiere una biografía más completa.
De cualquier manera, no hay duda de que este sabio fue uno de los
primeros en elaborar un catálogo de estrellas y en medir,
con precisión
sorprendente, la posición de éstas sobre una
esfera celeste. La
comunidad de astrónomos le rinde homenaje bautizando con su
nombre un cráter
de la Luna. Tintin, estuvo en este cráter
durante Aterrizaje
en la Luna. Citando textualmente a Hergé:
"le cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clowns, donc vous ne
pouvez
pas faire l'affaire..." ("El
circo de Hiparco no necesita de payasos, así que ustedes no
sirven
absolutamente para nada..." Para el contexto del comentario leer aquí.)
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El
segundo papel en este capítulo es interpretado por Ptolomeo,
quién
vivió tres siglos después, entre los
años 85 y 135 A.C. También
gran astrónomo y geógrafo, Ptolomeo se
inspiró
con los trabajos de Hiparco, sin embargo los historiadores no parecen
ponerse de acuerdo sobre la importancia de esta influencia.
¿Es acaso
Ptolomeo un continuador de la obra de Hiparco? Difícil
pregunta, mejor
la dejamos en manos de especialistas.
Una biografía general puede
consultarse aquí
, y para una con más detalles, se puede consultar este
sitio. Despreocúpese,
¡Ptolomeo también tiene
su cráter en la Luna!
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2. Longitud y latitud
¿Qué nos
enseñan Hiparco y Ptolomeo en este primer
capítulo? La idea de lo que hoy llamamos sistema de coordenadas.
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La
Tierra es redonda. Esto se sabe desde hace mucho e, incluso antes de
haberle dado la vuelta, algunos ingeniosos
geómetras griegos
ya habían encontraron la manera de calcular su
circunferencia sin
equivocarse por mucho
(ver por ejemplo esta
página).
La Tierra completa un giro al día
alrededor de un eje que conecta dos puntos llamados polos norte y sur.
Igualmente, el planeta completa un giro al año
alrededor del Sol,
pero ni Hiparco ni Ptolomeo sabían esto, puesto que pensaban
que, al
contrario, era el Sol quién giraba alrededor la Tierra...
Hubo que
esperar hasta Copérnico...en
el siglo XVI, para comenzar a descubrir que era de hecho la Tierra la
que giraba alrededor del Sol.
Determinar precisamente la forma de la Tierra
tomó todavía más tiempo. ¡No
es sino hasta hace algunas décadas que se
conocen sus dimensiones con un error de precisión de algunos
centímetros! Y la forma de la Tierra no difiere mucho de una
esfera: es
cierto que es un poco más chata en los polos, pero el radio
polar (6
356 km) y el radio
ecuatorial (6 378 km) no difieren por mucho. Visite
esta esta
página
(en inglés) para saber más al respecto.
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Hiparco nos invita a suponer que la Tierra es
exactamente una
esfera y nos explica entonces las bases de la geometría
esférica. Por definición, una esfera
es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la
distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es
siempre la misma. Una recta que pasa por el centro de una esfera
la intersecta en dos puntos: a ésta se le llama eje de
simetría
de la esfera. Si escogimos una recta de este tipo, podemos
pensar
que se trata del eje de rotación de la Tierra, y que los dos
puntos de
intersección son los polos norte y sur.
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Un plano que pasa por el centro de una esfera la
corta en un círculo llamado gran
círculo y
éste separa a la esfera en dos hemisferios.
En el caso particular de que el plano que pasa por el centro de la
esfera sea perpendicular al eje que escogimos, se le llama a
éste
plano del ecuador,
y los hemisferios correspondientes son llamados austral (al Sur) y
boreal
(al Norte). Un plano que contenga al eje de
simetría corta a la
esfera en un gran círculo que pasa por los polos.
Estos círculos
están constituidos
por dos semicírculos que conectan a los polos: a estos se
les llama meridianos.
Con excepción de los polos, todo punto sobre la Tierra
está situado sobre un solo
meridiano. Puesto que supusimos que la Tierra era una esfera, todos los
meridianos miden lo mismo: la distancia que hay que recorrer sobre la
Tierra si se quiere viajar del polo Norte al polo Sur, es decir, 20 000
km (aproximadamente).
Entre todos los meridianos que hay sobre la Tierra
hay uno que sirve de origen: se trata del que pasa por el observatorio
de Greenwich
en Inglaterra. Sin embargo, bien se habría podido tomar otro
( a los
franceses, por ejemplo, ¡Bien les hubiera gustado el
que pasa por
París! ) El resto de los meridianos son descritos por un
ángulo
(ilustrado en la figura abajo) llamado la
longitud
del meridiano. La tradición geográfica solicita
que dicho ángulo tome
valores entre 0 y 180 grados, bien sea al este o al oeste del
meridiano de Greenwich.
Seleccione
la imagen a la izquierda para ver una animación.
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Los planos perpendiculares al eje de
rotación cortan a la esfera en círculos
llamados paralelos.
Se les llama así quizás porque no se intersectan
unas a otras, como rectas
paralelas... Los paralelos, entre más cerca estén
de los
polos, más cortos son. El ecuador
es un paralelo particular, a medio camino entre dos polos, es
el más largo de todos. El resto de los paralelos
pueden estar bien
sea al norte o al sur del ecuador, y están descritos por un
ángulo, que
en la figura aparece en color verde: se trata de la latitud.
Cada
punto de la Tierra, a excepción de los polos,
está situado en la
intersección de un paralelo con un meridiano, y, de esta
manera, puede
atribuírsele una latitud y una longitud: éstas
son las coordenadas
geográficas del punto.
Recíprocamente, dada una latitud y una longitud, se puede
encontrar el punto...
La cuestión importante a recordar
aquí es que para
describir un punto sobre la superficie de la tierra, se necesitan dos
números, y
que es por esta razón que se dice que la Tierra es de
dimensión 2. De
hecho, para un matemático, una superficie es un objeto
de
dimensión 2; puede tratarse de la superficie de la Tierra,
pero también
el plano de una mesa o la superficie de un balón de rugby.
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Seleccione la imagen para ver
una animación. |
Sin
embargo, ¡Vivir sobre la superficie de la Tierra no
es más que
una primera aproximación! Puede ser que tomemos un
avión, por
ejemplo...entonces, los dos números
correspondientes a la longitud
y la latitud no son suficientes para especificar nuestra
posición. Se
necesita decir también a qué altura uno se
encuentra. Se necesitan
entonces tres números para especificar nuestra
posición en el
espacio. Por eso se dice que el
espacio es de dimensión 3. Regresaremos a
esto más tarde...
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3. Proyecciones
En la segunda parte de este capítulo,
Hiparco nos explica una de las grandes ideas matemáticas, lo
que se denomina una proyección.
La Tierra es redonda pero nos encantaría representarla sobre
un plano,
sobre una hoja de papel por ejemplo, para así poder hacer un
mapa que
podríamos incluir en un atlas.
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Existen
muchos métodos para cartografiar la Tierra. El principio
general
consiste en escoger una zona de la Tierra y de asociarle a cada
punto p
en ella un punto F(p)
en el plano. De esta manera, se representa la zona en
cuestión en
una parte del plano. En la selección de la
representación F
yace el arte del cartógrafo que intenta privilegiar una u
otra característica. Lo ideal sería que el mapa
fuera isométrico,
es decir, que se pudiera medir la distancia entre dos puntos p,q
midiendo la distancia entre sus representaciones F(p)
y F(q).
Desgraciadamente, esos mapas ideales no existen y hay que hacer
compromisos. Por ejemplo, ciertos mapas intentan representar fielmente
las áreas. La cartografía es una
ciencia apasionante, con larga
historia, frecuentemente paralela a la de las
matemáticas, y que
ha logrado progresos considerables recientemente, en parte debido a
mediciones más precisas y a la informática.
Véanse por ejemplo estos dos
sitios,
mismos que pueden servir como punto de partida para el estudio de esta
ciencia.
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El mapa que nos presenta Hiparco porta un nombre
sabio: la proyección
estereográfica. Hay
que admitir que ésta no sirve mucho en los atlas de hoy en
día, salvo
quizás a la hora de representar las zonas polares. Sin
embargo veremos
poco a poco en la película que esta proyección
tiene un interés
matemático considerable y que es bastante útil.
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Su definición es simple. Consideremos
el plano tangente P
a la Tierra en el polo Sur. Para cada punto p
de la esfera distinto del polo Norte, podemos trazar la recta pn
que une p al polo Norte. Esta
recta intersecta el plano tangente P
en el punto F(p).
La proyección estereográfica es entonces una
representación de la esfera privada del polo Norte sobre el
plano P.
¿Quién
inventó esta proyección? Aún otro
debate histórico complicado...
Algunos mencionan a Hiparco, otros a Ptolomeo, incluso hay quienes
afirman que de hecho fue Hiparco el que inventó esta
proyección, pero
sin conocer sus propiedades.
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Esta proyección posee tres propiedades
esenciales, fuertemente interconectadas.
La primera,
ampliamente ilustrada en la
película, es que la proyección
transforma un círculo trazado sobre
la esfera en un círculo o recta del
plano. Si usted tiene la paciencia de esperar
al último capítulo, entenderá
porqué.
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Para
demostrarlo, Hiparco se divierte haciendo rodar la Tierra sobre el
plano tangente al polo Sur. Ahora, ya no es el sur el que
está en
contacto con el plano y no es a partir del polo Norte desde donde
proyectamos, sino que proyectamos continuamente, siempre desde el punto
"más alto" sobre el plano tangente al punto "más
bajo". Una rotación
hipotética y poco razonable, pero que sin duda da lugar a
lindas
proyecciones.
Seleccione la
imagen a la izquierda para ver una animación
La segunda,
que no está ilustrada en la película, es que
la proyección
respeta los
ángulos.
Esto quiere decir que si se toman dos curvas sobre la esfera que se
intersectan en un punto con cierto ángulo, las
proyecciones
correspondientes se intersectarán definiendo el mismo
ángulo. Vemos
sobre la imagen a la izquierda que las proyecciones de los meridianos y
los paralelos se intersectan en un ángulo recto, como se
intersectan en
un ángulo recto sobre la esfera. Bastante
práctico para un navegante
que calcula su ruta y al que bien le gustaría que
los ángulos que
mide reaparezcan exactamente sobre su mapa.
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La tercera,
es que, si bien la proyección
no alcanza el ideal de preservar las distancias, lo intenta de la mejor
manera posible. Tomemos un punto p
sobre la esfera y consideremos una
región pequeñita R
alrededor de p.
La proyección estereográfica transforma
la región R
en una región F(R)
alrededor del punto F(p).
Resulta que, cuanto más pequeñita sea la
región R,
más respeta F la
forma de R. Esto significa lo siguiente:
existe una constante k, que
puede llamársele la escala
del mapa en R, tal
que si q1
y q2
son dos puntos en R, el cociente
entre las distancias entre q1
y q2
(en la esfera) y F(q1)
y F(q2) sobre
el plano, es casi igual a k.
¿Qué quiere decir "casi"? Que este cociente esta
más cerca de k cuando R
se vuelve más pequeño. Más
allá de la formulación matemáticas
precisa,
esto quiere decir que el mapa obtenido por la proyección
respeta las
zonas pequeñas. Es por ello que decimos que es conforme.
Es la principal característica de la proyección
estereográfica: ¡Casi perfecta para un usuario que
sólo la empleara en un pequeño vecindario de
sí mismo !
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Después de este primer viaje,
retengamos la lección de Hiparco: la esfera es de dimensión
2 pues sus puntos se describen con dos coordenadas, latitud y
longitud, y es bastante práctico representarla en un plano
gracias a la proyección estereográfica...
¡Todo esto nos será muy útil para
explorar la tercera dimensión y luego la cuarta!
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