Capítulo 2: Tercera Dimensión

M. C. Escher narra las aventuras de unas criaturas bidimensionales que tratan de imaginar objetos tridimensionales.  

1. El narrador

M.C. Escher (1898-1972) fue un artista extraordinario cuyas obras atraen el interés de muchos matemáticos. Sus grabados nos muestran mundos paradójicos, teselados con simetrías asombrosas y perspectivas infinitas: ¡el tipo de cosas que verdaderamente fascinan a los matemáticos! Se puede encontrar una biografía aquí y una enorme colección de reproducciones de sus grabados en el sitio oficial.

J. S. Bach (1685-1750) es otro artista que fascina a los matemáticos (entre otros). También nos muestra impresionantes simetrías.

Kurt Gödel (1906-1978) fue un matemático que revolucionó la lógica y que exploró las simetrías entre el todo y una de sus partes.

Un libro notable "Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle" explora las profundas relaciones entre las obras de estas tres figuras excepcionales.

Unos de los grabados más famosos de Escher es el titulado Reptiles. Tómese un tiempo para admirarlo aquí pues pasa demasiado rápido en la película. En una página de un bloc de notas de diseño, vemos un teselado en el cual unos lagartos planos encajan perfectamente.

Ésta es una imagen de un mundo plano: los lagartos que viven en ésta página sólo conocen el papel en el que están dibujados; ignorantes del espacio que les rodea. Les vemos, y sabemos que su mundo plano sólo es un cuaderno que se encuentra en nuestro espacio, pero los lagartos planos no saben esto.

Uno de estos lagartos ha encontrado un modo de escapar del plano y visitar nuestro mundo: le vemos en la parte inferior tomando espesor poco a poco, subiendo a un libro y usando un cartabón como puente hacia un dodecaedro antes de volver a bajar y reasumir su posición en su mundo plano, enriquecido por su nueva experiencia como un explorador que acaba de descubrir un nuevo continente.

El grabado invita a una reflexión filosófica: si estos lagartos no son conscientes de un mundo exterior que les rodea, ¿podríamos estar en la misma situación? ¿No podría haber un mundo "exterior" al nuestro al que nuestros sentidos no tuvieran acceso? De hecho, hay muchas alusiones filosóficas en este grabado. Vemos los cuatros elementos con que, según Platón, está hecho el mundo: agua en el vaso, aire soplando de las fosas nasales del lagarto, tierra en la maceta y fuego sugerido por la caja de cerillas. Incluso vemos un dodecaedro, que representa el quinto elemento de Platón, la "quintaesencia" de todas las cosas... ¿Podría ser "Job", la marca del papel de fumar, una alusión bíblica?

El propósito de este capítulo es prepararnos para la cuarta dimensión. Con el fin de vislumbrar una cuarta dimensión que nos envuelve, vamos a empezar por imaginar las estrategias que podríamos utilizar para explicar la existencia de una tercera dimensión a los lagartos planos. Vamos a imaginar que somos este lagarto elegido por el cielo (¿el filósofo? ¿el matemático?) que tuvo el privilegio de ser autorizado a dejar la página y subir en un dodecaedro. Nos encontramos en un espacio tridimensional, podemos ver objetos como un maceta, un libro, un dodecaedro, y nuestra misión es "mostrar" estos objetos a los otros lagartos que no pueden verlos porque se limitan a un plano del que no pueden salir.

2. "Planilandia"

3. Los sólidos Platónicos

¿Qué objetos en nuestro espacio podríamos "enseñar" a los lagartos planos? Podríamos mostrarles una maceta, o un libro, pero sigamos en modo filosófico y enseñémosles los cinco sólidos Platónicos.

Algunos de estos objetos son muy familiares para nosotros, como el cubo. En ocasiones, encontramos otros, como el tetraedro. Por último, otros son bastante raros, y es necesario ser muy atento para encontrarlos en la naturaleza.

Por ejemplo, vamos a tomar el icosaedro, con sus 12 vértices, y a rebanar cada uno de los vértices como en la figura de la izquierda. Obtenemos un objeto que consta de 20 hexágonos y 12 pentágonos. Los pentágonos provienen de los 12 vértices que recortamos y que corresponden a las caras de un dodecaedro. Se puede reconocer el resultado final como el patrón en un balón de fútbol ... 

Estos objetos se llaman poliedros, que en griego significa literalmente que tienen muchas caras. No es nuestra intención aquí entrar en una complicada teoría de los poliedros. Sólo queremos elegir a cinco bonitos objetos en el espacio y tratar de mostrárselos a los lagartos, o quizá de alguna manera explicar a una lagartija que es un balón de fútbol.

Hay muchos poliedros (un número infinito, de hecho), pero sólo cinco de ellos son regulares. Una vez más, no queremos entrar en los detalles de la definición de esta palabra, pero observe sólo que para cada uno de estos cinco poliedros regulares todos los lados son del mismo tipo (por ejemplo, todas las caras del dodecaedro son pentágonos regulares, cuyos bordes tienen la misma longitud), y que todos los vértices son del mismo tipo (por ejemplo, hay exactamente tres aristas saliendo de cada vértice de un cubo). Estas propiedades son suficientes (o casi) para caracterizar los cinco objetos que queremos mostrar a los lagartos.

Para aprender más sobre poliedros, puede consultar esta página, y para aprender mucho más sobre los cinco poliedros regulares, su historia y sus simetrías, puede consultar esta página. Estos objetos se encuentran entre los objetos más venerados por los matemáticos, ya que simbolizan el concepto de simetría que, por desgracia, no se describe en la película.

4. Secciones

Una primera idea de cómo explicar a los lagartos lo que es un tetraedro, es cortarlo en rodajas. Esta idea es muy antigua, y Edwin Abbott la utiliza a menudo en su libro. Esto es más o menos la idea utilizada en la tomografía, una técnica médica de obtención de imágenes que consiste en examinar el cuerpo humano en rodajas y, a continuación, reconstruirlo en una imagen tridimensional con las sucesivas secciones transversales.

Cuando un poliedro se mueve en el espacio y se encuentra con el plano de los lagartos, la intersección con este plano es un polígono. Cuando el poliedro se mueve, el polígono se deforma, y, finalmente, desaparece cuando el poliedro ha acabado pasando por el plano (asumiendo que los poliedros pueden atravesar las paredes como el "atraviesa paredes" de Marcel Aymé). Los lagartos ven sólo los polígonos, pero los ven de una manera dinámica: pueden ver cómo se deforman. Con un poco de experiencia, pueden (tal vez) eventualmente obtener una idea intuitiva de lo que es en realidad un poliedro, a pesar de que no pueden verlo en el espacio.

Todo esto conlleva a otras cuestiones. Por ejemplo, si los lagartos están en un plano, ¿cómo pueden ver un polígono? ¡Difícil pregunta y difícil de responder! Pero, si pensamos un poco en ello podemos comprender que nosotros nos encontramos en el mismo problema. ¿Cómo podemos ver objetos tridimensionales, cuyas imágenes se proyectan en nuestras retinas bidimensionales? Hay varias respuestas posibles a esto. En primer lugar, tenemos dos ojos que no perciben exactamente las mismas cosas y nuestro cerebro usa estas dos imágenes bidimensionales para reconstruir mentalmente una imagen en tres dimensiones.

Además, el efecto de la luz, las sombras, etc., nos dan información parcial de la distancia que nos separa de los objetos. 

Finalmente, y quizás lo más importante, tenemos experiencias previas del mundo que nos rodea: cuando vemos una fotografía de un balón de fútbol, lo reconocemos aunque sea una imagen plana porque ya hemos visto y tocado anteriormente otros balones de fútbol.

Por lo tanto, no dudemos en asumir que nuestros lagartos tienen dos ojos y una gran experiencia con su mundo. Si un hexágono aparece ante ellos, son totalmente capaces de reconocerlo como tal. En el libro de Abbott, todas estas preguntas son tratadas de un modo muy divertido.

En la película vemos los cinco poliedros regulares pasando a través del plano, y podemos ver las secciones o polígonos mientras se deforman. Esta deformación no es fácil de predecir, ya que las secciones dependen de la forma en que los poliedros pasan a través del plano. Por ejemplo, si un cubo se acerca de modo que una de sus caras está en paralelo al plano, no nos sorprende ver que las secciones son cuadrados. Pero si queremos cortar un cubo con un plano que pasa por su centro y es perpendicular a una diagonal, la intersección es un hexágono regular ...¡lo cual no es tan evidente!

Después de haber visto todos los poliedros pasando por el plano, Escher nos propone algunos ejercicios. Se nos muestra una secuencia de secciones poligonales en el plano y debemos descubrir el poliedro que lo está atravesando, como si fuerámos un lagarto plano. Buena suerte con este ejercicio, que no es fácil (como se verá). El método de las secciones tiene sus límites, por lo que buscaremos otros métodos ....

5. Proyección Estereográfica

He aquí una segunda idea que podría parecer extraña, pero que será muy útil a continuación (cuando es nuestro turno de ser "planos", confinados a tres dimensiones mientras alguien está intentando mostrarnos objetos en su mundo cuatridimensional ...). Hemos aprendido a proyectar la esfera en un plano mediante la proyección estereográfica, y hemos visto que, incluso si esta proyección modifica las longitudes todavía tendremos una imagen bastante exacta de la geografía de la Tierra, sobre todo si la miramos mientras la tierra rueda sobre el plano.

Podríamos intentar hacer la misma cosa y hacer rodar los cinco poliedros en un plano, proyectándolos estereográficamente. El problema es que no podemos rodar un cubo porque no es redondo! Por lo tanto, inflamos los poliedros como bolas de modo que se redondeen . Por ejemplo, podemos empezar por incluir un cubo dentro de una esfera.

La superficie del cubo se compone de seis caras cuadradas. Proyectamos estas seis caras radialmente en la esfera, desde el centro. Se podría decir que estamos inflando el cubo hasta que se convierte en esférico. La esfera está ahora cubierta por seis regiones, que ya no son cuadrados, por supuesto, ya que sus bordes son arcos de círculos. Sin embargo, obtenemos una buena imagen de un cubo con la ventaja de que podemos rodarlo como una pelota.

Ahora podemos imaginar la Tierra con seis continentes, que son las seis caras del cubo inflados. Podemos hacer con este cubo inflado exactamente lo que hicimos con la Tierra: proyectarla estereográficamente en un plano y hacerla rodar. ¡El baile de la los continentes se convierte en el baile de las seis caras de un cubo! Por supuesto, ya que las caras del cubo inflado son arcos de círculo, y hemos visto que la proyección estereográfica envía círculos en la esfera a círculos y líneas sobre el plano, la proyección del cubo inflado en el plano ha "cuadrado" caras cuyos lados son arcos de círculo o segmentos de línea. El lagarto plano ve la proyección: debe imaginar que está en un plano tangente al polo sur de una esfera que no puede ver y encuentra las seis caras del cubo inflado proyectadas sobre el plano. Lo que puede ver en el plano le da toda la información que necesita para comprender el cubo: puede contar los vértices, los bordes, y las caras, y puede comprender fácilmente sus posiciones relativas. Y si la esfera de la Tierra gira, el baile de las caras le dará una idea más precisa.  

Éste es el método mostrado en la segunda parte de este capítulo. Primero vemos el escenario completo como lo vería un ser tridimensional que lo ve todo: el poliedro, el poliedro inflado, la esfera, la proyección en el plano de los lagartos. Luego tomamos el punto de vista de los lagartos planos que sólo pueden ver la proyección. Al final aparece Escher en nuestra imaginación para mostrarnos que tipo de poliedro estamos viendo. El ejercicio sigue sin ser fácil, pero es más sencillo que utilizar el método de rodajas.

Estos ejercicios son útiles para lo que sigue. Recuerda: ¡en un momento estarás en la posición de un pobre humano tridimensional incapaz de ver la cuarta dimensión!. Alguien con el don de ser capaz de ver en cuatro dimensiones tratará de mostrarte lo que él ve, y para ello usará las rodajas y las proyecciones.