第 二章、三維空間

1. 叙述者

M.C. Escher (1898-1972) 是一個傑出的藝術家，他的作品引起了許多數學家的興趣。他的版畫給我們展示了自相矛盾的世界與有著驚人對稱性的瓷磚和無限的透視：正是令數學家們著迷的東 西！你能在 the official website 上找到他的傳記與他的版畫的複製品。

J. S. Bach (1685-1750) 是另一位吸引了數學家目光的藝術家。他同樣在作品中給我們展示了驚人的對稱。 

Kurt Gödel (1906-1978) 是一位引發了邏輯學革命的數學家，他同樣探討整體與部分間的對稱性。

一本傑出的書《Gôdel, Escher, Bach》（中譯本：《哥德 爾、艾舍爾、巴赫：集異璧GEB 之大成》）探討了這三位傑出人物的工B D其所蘊涵的深遠的關聯。

Escher最有名的版畫之一叫做《爬行動物》。由於它在影片中一閃而過，讓我們在這花點時間欣賞它。在寫生 簿的一頁上我們看到扁平的蜥蜴瓷磚完美地拼接在一起。

這是平面世界的景象：生活在頁面上的蜥蜴們只知道書頁而對周圍的立體空間一無所知。我們看得見它們，並且我們 知道它們所生活的平面世界不過是存在於我們空間中的筆記本的一頁，但是那些平面蜥蜴不知道這點。

其中一條蜥蜴發現了逃離平面並進入我們這個世界的辦法：我們在畫面底部看到他逐漸變厚，爬上一本書，利用一把 製圖工具爬向一個正十二面體的海角，最後回到平面繼續占有那屬於他的位置。它就像發現了新大陸，獲得了不可多得的經歷。

這版畫引起了哲學思考：如果這些蜥蜴並不了解它們周圍的外部世界，我們會不會是處於同樣的情况？難道不可能存 在我們無法感知的一個「外部」的世界？實際上，版畫中有許多哲學暗示。我們看到柏拉圖認為組成世界的四種素：杯子中的水，蜥蜴鼻孔呼出的空氣，盆中的土與 火柴盒所暗示的火，我們甚至看見正十二面體，那是柏拉圖所指的第五元素，「精華」……也許「job」牌香烟 紙是一個聖經的暗示？

這一章的目的是為了讓我們為第四維做準備。為了設想第四維，讓我們先來想像如何向平面蜥蜴解釋第三個維度。假 設我們由上帝（哲學家？數學家？）選出來的蜥蜴，並且有離開紙面爬上十二面體的特權。我們在三維空間中，看見一個罐子，一本書，一個正十二面體，而我們的 任務是向那些還困在平面而看不到這些物體的蜥蜴「展示」這些東西。

二、「二維國」

三、柏拉圖體

我們應該給平面蜥蜴展示哪些物體? 可以是花盆或一本書，但是取而代之，我們仍將以哲學的方式展示給他們五個柏拉圖體。

正四面體

正八面體

立方體

正十二面體

正二十面體

其中一些物我們很熟悉，比如立方體，我們有時遇到其它的比如正四面體。其它的很罕見，你必須注意觀察才能發現 它們。

例如正二十面體，如左圖所示切掉它的十二個頂點。我們得到一個由20個六邊形和12個五邊形組成的物體。五邊 形是來自被切掉的12個頂點，其形狀與正十二面體的面相同。你也許發現最終的物體很像一個足球 ……。

這些物體稱作polyhedra（多面體），在希臘語中的意思就 是有很多面！我們在這並不打算討論多面體的複雜理論。我們僅從中挑選出五個美的物體把它們展示給蜥蜴，或者實際上告訴一條蜥蜴一個足球是什麽樣。

存在許多多面體（實際上是無數多個）但是只有五個是「正」的。再次說明，我們不想追究這個詞的定義的細節，僅 從觀察上來說這五個正多面體的中的每一個的每個面都是一樣的(比如正十二面體的每個面都是正五邊形，所有的邊都有相同的邊長)，所有的頂點也都相同(比如 立方體的每個頂點都引出三條棱)。這些特性足夠（幾乎）描述這五個我們將展示給蜥蜴的物體。

圖像

名稱

面

頂點

邊（長度L)

面積

體積

學習有關多面體的知識，你可以瀏覽 這 個頁面，想對五個正多面體了解更多，比如他們的歷史與對稱性，你可以瀏覽 這個頁面。這些多面體是算是最被數學家崇敬的物體中的一些，因為它們象徵著對稱， 然而這一點在影片中卻並未被提及。

4. 截面

關於向蜥蜴7釋什麽是正四面體的第一個想法是把正四面體做切片。這個想法非常老了，Edwin Abbott經常在他的書裏使用這種方法。這正是 X 射線斷層照相術 使用的方法，一種醫學成像技術：一片一片地檢查人的身體然後用連續的截面圖像重建三維圖像。

當一個多面體在空間中運動，遇到蜥蜴的平面時，多面體與平面的截面是個多邊形。當多面體運動，多邊形變形，當 多面體穿過平面時它最終消失 (假設多面體能穿過平面，就像 Marcel Aymé 的「穿牆術」！)。蜥蜴只看見動態變化的多邊形：關注他們如何變形。通過一點經驗他們（也許）能最終對多面體有個直覺的感受，即使他們不能在空間中看到多 面體。

這一切引發出許多問題。比如，平面上的蜥蜴如何看到一個多邊形？確實困難！令人難以回答他們。但是如果再想 想，你會發現我們在三維空間面臨同樣的問題。我們如何看見三維物體？要知道它們在我們視網膜上的投影只是二維的。存在許多種可能的回答。首先，我們的兩隻 眼睛看同一物體得到的影像並不是嚴格一模一樣的，我們的大腦利用這些二維圖像重建三維圖像。此外，陰影、光線等的效果給了我們物體距離的額外訊息。

最後，或許也是最重要的，我們對周圍的世界有生活經驗：當我們看見一顆足球的照片，我們能認出它是足球，即使 圖像是二維的，因為我們看過觸摸過其他足球。所以我們大可假設我們的蜥蜴有兩隻眼睛，對他們世界的經驗也十分豐富。如果一個六邊形出現在他們面前，他們完 全有能力辨認出。在Abbott的書裏，這些問題都被處理得很有趣。

在影片中我們看到正多面體穿過平面，截面/多邊形隨之形變。由於截面的形狀取決於多面體穿越平面的方式，這導 致這種形變不容易被預測。例如，比如一個立方體以一面平行於平面的方式穿越平面，我們很自然地看到截面是正方形。但是如果我們以一個穿過其中心垂直於一條 對角線的平面去截立方體，我們得到的截面是一個正六邊形…這個就不那麽顯而易見了！

在觀看完所有這些多面體穿越平面之後，Escher為你準備了一些練習。他給你展示一系列多面體平面截面，你 必須指出這是什麽多面體，就如同你是一個平面蜥蜴。祝你完成這些測試，要知道它們並不簡單(正如你將看到的)。截面方法有它的侷限，我們要尋找其他方法 ……。

五、球極投影

這是另一個主意，正如下面敘述的，也許看起來很奇怪但十分有用 (當輪到我們成「扁平的」時，我們被限制制在三維空間而有人努力給我們展示他所在的四維空間的物體……)。 我們學習了如何把一個球體投影到平面上，而且我們發現甚至即使投影改變了長度，它仍然顯示了一個相當準確的地球地理的圖像，尤其當觀察地球在平面上滾動 時。

我們能試著同樣在平面上滚動五個多面體，球極投影他們。問題是我們不可能滚動一個立方體，因為它不是圓的！所 以我們膨脹立方體使它們像球體這樣我們就能滾動它們的。比如，我們以球内接立方體開始。

立方體的表面由六塊正方形組成。我們把六塊面從圓心徑向地投影到球面上。你也可以說我們是膨脹了一個立方體直 到它變成一個球。球體現在由六個區域覆蓋，而不再有正方形，當然，它們的邊是弧形。這樣我們得到的立方體圖像有個優點，我們能像滾動球一樣滾動它。

現在我們B 3像一個有六塊大陸的地球，每一塊都是膨脹的立方體的一面。我們對膨脹的立方體和地球可以做同樣的操作：把它立體地投影到平面上並且旋轉它。六塊大陸的旋 轉變換也就是正方體的六個面的旋轉變換！當然，由於膨脹了的立方體的面是圓弧形的，且球極投影把圓投影成平面上的圓或直線，所以膨脹立方體在平面上的投影 呈現出有弧邊與線段的「方」面。對於平面蜥蜴來說，他必須想像他處在一個與膨脹的立方體形成的球體相切的平面上，立方體也被投影到這平面。他在平面上所能 看到的足夠他去理解這個立方體：他能數頂點、棱、面，理解它們的位置關係。隨著球體的旋轉，面的變換會給他更清晰的想法。

這就是在這章第二部分展示的方法。首先我們以三維生物的視角展示場景：多面體、膨脹的多面體、球體、在蜥蜴的 平面上的投影。然後我們採用平面蜥蜴的觀點，他們只能看見投影。Escher要求利用我們的想像力以判斷我們到底看見的是哪種多面體。這種練習還很不容 易，但是這與切片方法相比還是看起來容易些。

在下面的章節中這種方法很有用。記住：接下來你是一個對第四維一無所知，只能感知三維的人類！某位能看見第四 維的人會努力向你展現他所見到的，同樣，會使用切面與投影的方法。