Dimensions
Домой Тур+гид Подробнее Смотреть онлайн Спасибо... Написать нам
日本語 / English / Français / Português / 简体中文 / 繁體中文 / Español / Nederlands / العربية

Глава 2: размерность три

М. К. Эшер рассказывает о приключениях двумерных существ, которые пытаются представить трёхмерные объекты.

К главе 1 К главе 3

1. Рассказчик

М. К. Эшер (1898-1972) был выдающимся художником, чьи работы привлекали внимание многих математиков. Его гравюры показывают нам парадоксальные миры, покрытия с ошеломляющими симметриями и бесконечными перспективами, в общем, то, что действительно не оставляет математиков равнодушными! Вы можете найти его биографию и большую коллекцию работ на официальном сайте.

Ещё один восхищающий математиков (и не только их!) творец — И. С. Бах (1685-1750). В его произведениях нам также встречаются поразительные симметрии.

Курт Гёдель (1906-1978) внёс революционный вклад в развитие логики, он тоже использовал симметрии — между целым и его частями.

Замечательная книга Гёдель, Эшер, Бах исследует глубокую взаимосвязь между работами трёх этих выдающихся людей.

Одна из самых известных картин Эшера называется Рептилии. Давайте немного полюбуемся ей, так как, к сожалению, в фильме она появляется совсем ненадолго. На альбомной странице мы видим мозаику из плоских ящериц, которые прилегают друг к другу, не оставляя свободного места.

Это — картина плоского мира: ящерицы, живущие на странице, знают только эту страницу, окружающее же пространство для них неведомо. Мы видим их и знаем, что их плоский мир — это всего лишь страница тетради, лежащей в нашем пространстве, но плоские ящерицы не знают этого.

Одна из этих ящериц нашла способ выбраться из своей плоскости и посетить наш мир. Мы видим её внизу листа, постепенно обретающую плотность, взбирающуюся на книгу, использующую угольник в качестве моста, ведущего к выступу в форме додекаэдра, прежде чем спуститься вниз и вернуться в свой плоский мир, но уже впитав новый опыт, словно учёный, который только что открыл новый континент.

Картина даёт возможность задуматься: если эти ящерицы не знают о существовании внешнего мира вокруг, то, может, и мы находимся в схожей ситуации? Может быть, существует мир, “внешний” для нашего, мир, который мы не способны воспринимать? Вообще, в этой картине заключено множество философских подтекстов. Мы видим четыре элемента, которые по предположению Платона, составляют мир: вода в стакане, пары воздуха, выдыхаемые ящерицей, земля в горшке и огонь, символизируемый спичечной коробкой, -- мы также видим додекаэдр, “пятую сущность” в теории Платона… Может ли быть, что надпись “Job” (Иов) на папиросной бумаге является аллюзией к Библии?

Все работы M.C. Escher © 2008 The M.C. Escher Company, Нидерланды.
Все права защищены. www.mcescher.com Использовано с разрешения правообладателя.

Цель этой главы -- подготовить нас к идее четвёртого измерения. Чтобы представить окружающее нас четырёхмерное пространство, мы начнём с рассмотрения способов, которые можно использовать, чтобы объяснить плоским ящерицам существование третьего измерения. Представим себя на месте плоской ящерицы, избранной небесами (философом? математиком?), чтобы покинуть плоскость тетради и взобраться на додекаэдр. Мы находимся в трёхмерном пространстве, видим такие предметы, как горшок, книга, додекаэдр, и наша цель – “показать” эти предметы другим ящерицам, не способным увидеть их, потому что они прикованы к плоскости, которую не могут покинуть.

2. "Плоский мир"

Эту главу хорошо мог бы рассказать и автор замечательной книги под названием Флатландия (Плоский мир) — английский пастор 19-го века Эдвин Эбботт. Книга эта повествует о плоском обществе, члены которого -- треугольники, квадраты, круги и отрезки. Обычаи в плоском мире очень сложны, и особое обаяние книги заключается в том, что автор использует их, чтобы высмеять полное собственных сложностей викторианское общество 19-го века, в котором он жил. Книга одновременно и научная, и, в определённой мере, социологическая.

Герой книги -- Квадрат -- близок нашим ящерицам, он также покидает свою плоскость и постепенно осознаёт существование других измерений. Подзаголовок книги -- Роман многих измерений. Эта маленькая книга -- настоящая драгоценность, она одна из первых популяризирующих науку книг.

Полный текст книги доступен на английском и французском языках.

3. Платоновы тела

Какие объекты нашего пространства стоит показать плоским ящерицам? Мы могли бы показать им цветочный горшок или книгу, но вместо этого мы лучше продолжим в философском духе и познакомим их с пятью платоновыми телами.

Тетраэдр Октаэдр Куб Додэкаэдр Икосаэдр

Куб нам хорошо знаком. Реже мы встречаем тетраэдр. Но оставшиеся увидеть куда сложнее, нужно быть очень наблюдательным, чтобы их найти в природе.

К примеру, рассмотрим икосаэдр с его 12 вершинами и отрежем каждую из них, как на фигуре слева. Мы получили фигуру, состоящую из 20 шестиугольников и 12 пятиугольников. Пятиугольники получились при срезании вершин, и они соответствуют граням додекаэдра. Узнаёте? Получился рисунок на футбольном мяче!

Эти объекты называются многогранниками (да и их английское название -- polyhedra -- с греческого буквально переводится как имеющие много граней). Мы не будем углубляться в сложную теорию многогранников. Мы просто хотим выбрать пять симпатичных объектов в пространстве и попытаться показать их ящерицам или, может быть, как-нибудь объяснить им, что такое футбольный мяч.

Существует множество многогранников (на самом деле, бесконечное количество), но только пять из них правильные. Здесь мы, опять же, не будем вдаваться в детали того, что это значит, а только обратим внимание, что у каждого из этих пяти правильных многогранников все грани одинаковы (к примеру, все грани додекаэдра — это правильные пятиугольники с равными длинами сторон). Также одинаково устроены и вершины (к примеру, в кубе из каждой вершины выходят ровно три ребра). Этих свойств достаточно (почти), чтобы охарактеризовать те пять объектов, которые мы хотим показать ящерицам.

Изображение Название Граней Вершин Рёбер
(длины L)
Площадь Объём
Тетраэдр 4 4 6
Октаэдр 8 6 12
Куб 6 8 12
Додэкаэдр 12 20 30
Икосаэдр 20 12 30

Чтобы узнать больше о многогранниках, посетите эту страницу; если же вы хотите узнать больше именно о пяти правильных многогранниках, об их истории и об их симметриях, то вам -- сюда. Эти объекты принадлежат к одним из самых уважаемых в математике, поскольку символизируют само понятие симметрии, которое, к сожалению, не описывается в фильме.

4. Сечения

Первый способ объяснить ящерицам, что такое тетраэдр – это нарезать его "ломтиками". Эта идея появилась давно, и Эдвин Эбботт не раз использовал её в своей книге. Такой метод часто применяется в томографии: рассматривают последовательность фотографий тела человека в поперечном сечении, а затем из неё получают трёхмерную картинку.

Когда многогранник перемещается в пространстве и встречается с плоскостью ящериц, их пересечением является многоугольник. При движении многогранника многоугольник меняется и, в конце концов, исчезает в тот момент, когда многогранник окончательно проходит сквозь плоскость (предположим, что для многогранников твёрдые объекты не являются препятствием, как для “проходящего сквозь стены” из одноимённого рассказа Марселя Эме). Ящерицы видят только многоугольники, но видят их в динамике: они могут наблюдать, как изменяются фигуры. Набрав немного опыта, они (вероятно) смогут в итоге приобрести интуитивное представление о том, что такое многогранник, хотя они и не имеют возможности видеть его в пространстве.

Всё это вызывает множество вопросов. К примеру, если ящерицы находятся на плоскости, то как они могут видеть многоугольник? Сложный вопрос! А их спросить не получится. Но, если немного подумать, то можно понять, что мы сталкиваемся с ничем не отличающейся проблемой. Как мы можем видеть трёхмерные объекты, если их изображение на сетчатке нашего глаза – это только двумерные проекции? Существует множество возможных ответов. Во-первых, у нас есть два глаза, которые видят не абсолютно одно и тоже, и наш мозг использует два этих двумерных изображения, чтобы мысленно воссоздать трёхмерную картину.

Кроме того, эффекты тени, света и др. дают частичную информацию о расстоянии, которое отделяет нас от объекта.

Наконец, и, возможно, самое главное, у нас есть достаточное количество знаний о мире, в котором мы живём: когда мы видим фотографию футбольного мяча, мы узнаём его, потому что уже видели и трогали другие футбольные мячи, -- хоть его изображение и плоское.

Так давайте смело предположим, что ящерицы имеют два глаза и большой опыт общения с их миром. Если перед ними появляется шестиугольник, то они вполне способны узнать его. Все эти вопросы с большим юмором рассмотрены в книге Эбботта.

Щёлкните по рисунку для просмотра фильма.

В фильме мы увидим, как все пять правильных многогранников проходят через плоскость, и мы наблюдаем изменяющиеся сечения-многоугольники. Нелегко предсказать их деформации, потому что сечения зависят от того, как именно многогранник проходит через плоскость. К примеру, если куб подходит к плоскости так, что одна из его граней параллельна плоскости, мы не будем удивлены, увидев квадратные сечения. Но если мы разрежем куб плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной к диагонали, то их пересечением будет правильный шестиугольник… что, наверное, менее очевидно!

После того, как вы посмотрели на многогранники, проходящие сквозь плоскость, Эшер предлагает вам некоторые упражнения. Он покажет вам последовательность сечений-многоугольников на плоскости, и вы должны понять, какому многограннику они принадлежат, как будто бы вы -- это плоские ящерицы. Удачи вам в этом задании, которое, вы увидите, не так легко! Метод сечений имеет свои пределы, так что рассмотрим и другие методы…

5.Стереографическая проекция

Теперь рассмотрим второй метод, который может показаться вам странным, но впоследствии окажется очень полезным (когда наступит наша очередь быть “плоскими” -- заключенными в трёхмёрное пространство -- в то время, как кто-то избранный попытается показать нам объекты в четырёхмерном мире…). Мы научились стереографически проецировать сферу на плоскость, и мы видели, что, хоть при такой проекции расстояния и изменяются, мы всё-таки получаем достаточно точное представление о географии Земли, особенно если наблюдать за проекцией, вращая земной шар.

Мы можем попробовать сделать то же с пятью многогранниками, вращая их и рассматривая стереографические проекции. Но проблема в том, что мы не можем катить куб, потому что он не круглый. Поэтому мы будем надувать многогранники, как воздушные шары, пока они не станут круглыми. К примеру, начнём с того, что впишем куб в сферу.

Поверхность куба состоит из шести квадратных граней. Рассмотрим их проекции на сферу из центра вдоль радиусов. Можно сказать, что мы надуваем куб, пока он не станет шарообразным. Сфера теперь разделена на шесть областей, которые, конечно, больше не имеют форму квадрата, ведь их границы -- дуги окружностей. Но мы получаем хорошее изображение куба, преимуществом которого является возможность крутить сферу, как мячик.

Теперь мы можем представить Землю с шестью континентами -- гранями раздутого куба. Мы можем сделать с этим надутым кубом тоже, что проделывали с Землёй: стереографически спроецировать его на плоскость и катить по ней. Танец континентов станет танцем шести граней куба! Конечно, так как грани раздутого куба это дуги окружности, а мы видели, что стереографическая проекция переводит окружности на сфере в окружности и прямые на плоскости, -- то проекция раздутого куба на плоскость будет иметь “квадратные” грани, стороны которых это дуги окружности или отрезки. Плоская ящерица видит проекцию: она должна представить, что находится в плоскости, касательной к южному полюсу сферы, которую она не может видеть, и вообразить себе шесть граней раздутого куба, которые проецируются на плоскость. То, что ящерица видит на плоскости, даёт ей всю необходимую информацию о кубе: она может посчитать количество вершин, рёбер и граней, и она может понять, как они располагаются относительно друг друга. А если сфера-Земля вращается, то танец граней даст ящерице ещё более точный образ.

Щёлкните по рисунку для просмотра фильма.

Вот он, метод, показанный во второй части этой главы. Сначала мы посмотрим на всю картину глазами трёхмерного существа, видящего всё: многогранник, раздутый многогранник, сфера, проекцию на плоскость ящериц. Затем, мы ставим себя на место ящериц, которые могут видеть только проекцию. Задача всё ещё остаётся не очень лёгкой, но всё же уже проще, чем при методе сечений.

Эти упражнения будут полезны в дальнейшем. Помните: чуть позже вы окажетесь на месте бедного трёхмерного человека, не способного увидеть четырёхмерное пространство ! Кто-то с даром видеть его попытается передать вам, что он видит, и он также будет использовать нарезание на сечения и проекции.

К главе 1 К главе 3