一、旁白

喜帕恰斯(Hipparchus)是 我們故事的第一位主角，但是我們不能對他說的話 太認真！他自稱為地理與天文學的創始人。這似乎有點言過其實；誰能真正地如此斷言呢？難道旅行者從不描述山水風情，牧羊人不曾仰望夜空繁星？一門學問，是 很少只由一人所獨創的。然而，喜帕恰斯仍應被尊為古時最優秀的智者之一。

我們對於喜帕恰斯的一生所知甚稀。他生於西元前190年，卒於西元前 120年。這篇文章 簡短地描述了他的生平，而 這個網站 則有更詳盡的傳記。不過，這位智者無庸置疑地是最早製作出星表，並且極精準地測量出了各星體於天球中的位置的人之一。天文學家把月球上一隕石坑以他的名子 命名以示對他的尊崇。艾爾吉(Hergé)在《月球探險》(Explorers on the Moon) 中把丁丁(Tintin)送到了這個隕石坑，並寫道：「le cirque d'Hipparque n'a pas besoin de clowns, donc vous ne pouvez pas faire l'affaire...」（欲知詳情，請參考 Explorers on the Moon！）。

本章第二位出場的人物是三世紀之後生於西元85年，卒於135年的 托 勒密(Ptolemy)。這位眾所周知的天文與地理學家是受到喜帕恰斯的研究成果所啟發的。不過，至於這對他影響有多深遠，歷史學家 們的意見則不甚相同。托勒密到底是不是取用喜帕恰斯的觀測結果，而非自行測量？我們把這個難題留給專家們。

欲閱讀托勒密的傳記，請點 這裡。這個網站 則有更深入的剖析。托勒密在月球上也有他自己的隕石坑！

二、經緯

喜帕恰斯和托勒密將於第一章告訴我們什麼事呢？他們將解說我們現今稱為坐標系統 (coordinate system)的概念。

我們早知道地球是圓的。而在甚至還沒有任何人環繞過地球以前，聰明的希 臘幾何學家就已經知道怎麼準確地測量它的周長。（可請參考 此頁）

地球每天繞著一條軸心自轉一圈。這條軸心連接了各稱為北 極(north pole)與南極(south pole)的兩點。每年，地球也會繞著太陽公轉一圈，但喜帕恰斯和托勒密都不知道這 個事實；他們還以為是太陽繞行著地球。一直到 哥白尼 所處的十六世紀時，人們才開始瞭解原來是地球正在繞行著太陽。

想要找出 地球 的確切形狀就較為費時，事實上，直到幾十年前人們才能用公分以下的精度來測量其各處之長短。地球並不是一個非常端正的球體：它在兩極處稍為扁平。不過，它 的極半徑（6536公里，看看這樣的精確度！）與赤道半徑（6378公里）已經相當地接近了。欲知道更多請參考 此頁。

喜帕恰斯先請我們把地球假設為一完美的圓球，接著講解了一些基本球面幾何學。根據定義，球面 是所有與球心(center)等距的點之集合。一條通過球心的直線與球面相交於兩點，且為一球面之對稱軸。我們可 以把這條直線當做地球的轉軸，並把兩個交點分別稱做北極和南極。

通過球心的一平面與球面交於一稱做大圓線 (great circle)的圓周。大圓線把球面分割成兩個半球(hemispheres)。 若此通過球心的平面與轉軸垂直， 則 它們相交而成的圓周就稱為赤道(equator)，而兩個半球則分別稱為南半球 (southern hemisphere)與北半球(northern hemisphere)。 通過轉軸的平面與球面相交之大圓線將通過南極與北極。這些大圓線都各由兩個連接兩極的半圓周所組成；這些半圓周稱為 經線(meridians)。 除了極點之外，地球上的每一 點都只在一條經線上。今因假設地球是正球體，故所有經線皆等長；它們的長度都等於北極在球面上與南極之間的最短距離（約2,0000公里）。

有一條經線被定義為地球上所有經線的起始處。它通過英國的格 林尼治(Greenwich)天文台； 不過，我們其實也可以任取其它線為起點（而法國人將非常樂見它經過巴黎！）。所有其它的經線則由被稱為 經度(longitude) 的角度（於下圖中被標示為紅色）所形容。在地理學中，一般規定這個角度取值範圍為格林尼治經線以西或以東0到180度。

請按左圖觀賞影片。

垂直於軸心的平面把球面切割成互相平行的 緯線(parallels)。 緯線將會隨著離極點越靠近而變得越短小。兩極中間的赤道是相當特殊的一條緯線；它是所有緯線中最長的一條。其餘的緯線皆位於赤道以北或以南，且並各由被稱 為 緯度(latitude) 的角度（圖中標示為綠色）確認。

除了兩極之外，地球的每一點都是一條經線與一條緯線的交點，故我們可以 給出每一點的經度與緯度。  反之，若我們知道了地球上一點之經緯度數，就可以找到它的位置。

重要的是，我們需要兩個數字方可確定地球上一點的位 置。  所以，我們說地球表面是二維的。同 理，桌子或是足球的表面也是如此。 

當然，我們位在僅約為地表的地方而已！例如，人們搭乘飛機時，單憑經度和緯度就不再足以精準地描述出位置了 ……我們還要知道離地的高度。因此，如果想要確認我們在地球外層空間中的位置，就必需用上三個數字。  於是我們說空 間是三維的。未來我們還會再提到這一點。

三、投影

喜帕恰斯於本章第二部份中講述了數學中最重要的概念之一，即投影(projection)。 地球是圓的，但若我們想要編製地圖集，我們會希望能將它表示於一平面（例如一張紙）上，以製作地圖。

有很多種繪製世界地圖的方法。一般而言，我們會先選定一地點 p， 然後再將這點與平面上一點 F(p) 相配。如此一來，我們就將該地點於平面上表示出來了。地圖學的精髓在於如何選定表示法 F；不同的選擇將會彰顯 出一地域之不同的特徵。等距映射將是最理想的選擇。兩點 p 與 q 之間的距離，與在它們經過等距映射之後被表示於平面上的兩點 F(p) 與 F(p) 之間的距離，是完全一樣的。但不幸的是，根本不存在這種映射，而我們只得想辦法退而求其次。例如，有些映射可以儘量忠實地呈現出一些地形的樣貌。地圖學是 一相當迷人的學門，其歷史常與數學史同樣地淵遠流長，又拜現代精準的測量法與電腦科技所賜，近來還獲得十分重要的進展。這 兩篇 文章 可做為研究該學科的出發點。

喜帕恰斯介紹給我們的映射有個深奧的名子：球極平面投影法。時至今日，除了用於描繪極區之外，製作地圖時已多 半不採用球極平面投影了。不過，隨著影片的進行，我們將會漸漸地理解到這種投影法於數學上有著深遠的影響，且事實上極具用處。

它的定義很簡單。我們考慮一與地球在南極相切的平面 P。 對球面上(除了北極之外)的每一點 p，我們畫出一條連接北極與點 p 的直線 pn。這條直線與切平面 P 交於另一點 F(p)。球極投影法就因而將球面（除了北極外）在平面 P 上表示出來了。

誰發明了這個投影法？這又是一個備受爭議的話題& hellip;…有些人認為是喜帕恰斯，又有些人覺得是托勒密，還有些人 主張的確是喜帕恰斯發明的，但是他並不瞭解它的性質。

球極投影法有三個息息相關的基本性質。

第 一 個性質是：球面上的一個圓經過球極投影法在平面上的變換是一個圓或一條直線。影片裡清楚地說明了這個性質。如果您耐心地看到最後一章，您就可以知道其原因 何在。

為了說明此性質，喜帕恰斯把地球放在切於南極點的平面上滾動。滾動會使 南極點離開此平面。同時，投影也不再是由北極投射而下，而是從球體的「最高點」投射到接「最低點」的切平面上。雖然把地球這樣滾來滾去的想法也許是不切實 際的，但是我們可以因此得到一些很不錯的投影圖！

請 按左圖觀賞影片。

球極投影法的第 二個性質 是：它保有原來的角度。意即，球面上任意兩條曲線的交角皆 不會隨著投影而改變。這一點並沒有在影片中被加以說明。您可以在左圖中發現，經線與緯線在經過投影後是交於直角的，就跟它們在球面上的情形一樣。這個特質 對於正在繪製路線圖的領航員特別有用……在地圖上用工具量出來的角度，就與實際的角度完全相同，這對他們來 說真是好極了。

球極投影法第 三 個性質則是：儘管此投影法並不完完全全保距，它會「盡其所能」地做到這一點。設球面上一點為 p， 另設點 p 周圍的一塊小區域為 R。球極投影法會把這塊區域 R 映射為一塊點 F(P) 周圍的一塊區域 F(R)。R 越小，F 就會把 R 的原形保留地越完整。用數學的語言來說就是：存在一所謂 R 之映射縮放常數 k，使得 R 內任意兩點 q₁ 與 q₂ 之間（在球面上）的距離與點 F(q₁) 與 F(q₂) 之間（在平面上）的距離之比皆近似於 k。這裡的「近似」是什麼意思？ 它的意思是說，若 R 越小，則距離比就會越接近 k。 即，大致而言，這個映射會保有極小區塊之形狀，故此映射是 保形(conformal) 的。這是球極投影法最重要的一個性質：若僅欲投影所在地附近之小塊區域，球極投影法已幾近完美。

在結束第一段旅程之後，讓我們重溫一下喜帕恰斯教了我們什麼：球面是二 維的，因為我們可以用經度與緯度兩數確認球面上的點位於何處。還有，球極投影法對於將球面表示於平面上之工作非常地有用… …。 

當我們探索三維空間與四維空間之時，這些事實將會很有幫助。